On considère X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre n = 15 et p = 0.3.
1. Calculer P(X = 5).
2. Calculer P(X ≤ 6).
3. Calculer P(X≥7).
4. Calculer P(8≤X≤9).
5. Calculer E(X).
Corrigé de l'exercice 1A l'aide de la calculatrice
1. P(X = 5) = 5.
2. P(X ≤ 6) = 5.
3. P(X≥7) = 5.
4. P(8≤X≤9) = 5
5. E(X) = np = 5.
Dans un lycée de 1000 élèves, la probabilité qu'un élève ait la dengue est de 1,2%. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de malades de la dengue du lycée.
1. Quelle est la loi de X (on admet que le tirage au sort des élèves est indépendant)?
2. Calculer E(X). Interpréter ce nombre.
3. Calculer la probabilité qu'au plus 3 élèves soient malades.
Corrigé de l'exercice 21. Cette expérience aléatoire peut être modélisée de la façon suivante :
X prend les valeurs k où k un entier allant de 0 à 1000.
\(P(X=k) =\begin{pmatrix}1000 \\ k \\ \end{pmatrix}\times 0,012^k\times 0,988^{1000-k}\)
2. E(X) = np = 1000×0,012 = 12. Donc en moyenne il y a 12 élèves malades dans le lycée.
3. L'événement "au plus 3 élèves sont malades" s'écrit (X≤3).
A la calculatrice on trouve que P(X≤3)≈0,0022.
Un joueur d'un jeu vidéo remporte 30 défis. Pour chaque défi remporté, le joueur accède à un tirage au sort où la probabilité de tirer un objet rare est de 7 %.
On note X la variable aléatoire correspondant au nombre d’objets rares que le joueur obtient après avoir remporté 30 défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.
1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X.
Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
2. Déterminer P(X < 6). Arrondir le résultat au millième.
3. Déterminer la plus grande valeur de k telle que P(X > k) > 0,5. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
4. Déterminer N le nombre minimal de défis que doit remporter le joueur pour que la probabilité de gagner au moins un objet rare soit supérieure ou égale à 0.95.
Corrigé de l'exercice 31. Cette expérience aléatoire peut être modélisée de la façon suivante :
X prend les valeurs k où k un entier allant de 0 à n.
formule
Son espérance est E(X) = np = n×n = np. Donc en moyenne le joueur peut espérer gagner np objets rares.
2. La calculatrice donne P(X < 6) = P(X ≤ 5) ≈ 0,984 au millième près.
3. On a P(X > k) = P(X ≥ k+1). Avec la calculatrice on teste les différentes valeurs de k:
4. Soit XN la variable aléatoire correspondant au nombre d’objets rares que le joueur obtient après avoir remporté N défis. XN est donc une loi binomiale de paramètre N et p=p.
Il faut donc trouver N tel que P(XN ≥ 1) ≥ t ⇔ 1−P(XN = 0) ≥ t ⇔ P(XN = 0) ≤ 1−t= 0.05.
Or p(XN = 0) = formule.
Il faut donc résoudre l’inéquation : formule.