1. \(f'(x)=6x^2-4x+1\)
Pour étudier les variation de \(f\) on étudie le signe de \(f'(x)\).
Δ =(-4)²-4×6×1=-8, donc \(f'(x)\) est du signe de a=6 soit positif, ainsi f est croissante sur ℝ.
2. a. \(u_1=f(1)=-1\).
2. b. On va montrer par récurrence que, pour tout entier n : un+1≤un.
Initialisation : On vérifie pour n=0.
u0=1 et u1=-1
On a bien : u1≤u0
Hérédité : Pour tout entier n, on va montrer que :
si un+1≤un alors un+2≤un+1.
si un+1≤un
⇒ \(f\)(un+1)≤\(f\)(un) , car \(f\) est croissante sur ℝ
⇒ un+2≤un+1
Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, on a bien : pour tout entier n : un+1≤un.
2. c. D'après 2. b. pour tout entier n : un+1≤un, c'est à dire que (un) est décroissante.