Les exercices types

On va montrer par récurrence que, pour tout entier n : u_n=2ⁿ+5.

Initialisation : On vérifie pour n=0.
u₀=6 et 2⁰+5=1+5=6
On a bien : u₀=2⁰+5

Hérédité : Pour tout entier n, on va montrer que :

si u_n=2ⁿ+5
⇒ 2×u_n=2×(2ⁿ+5) On multiplie par 2
⇒ 2u_n=2ⁿ⁺¹+10 On distribue
⇒ 2u_n-5=2ⁿ⁺¹+10-5 On retranche 5
⇒ u_n+1=2ⁿ⁺¹+5 CQFD

Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, on a bien : pour tout entier n : u_n=2ⁿ+5.

On va montrer par récurrence que, pour tout entier n non nul : v_n=(-3)ⁿ+2.

Initialisation : On vérifie pour n=1.
v₁=-1 et (-3)¹+2=-3+2=-1
On a bien : v₁=(-3)¹+2

Hérédité : Pour tout entier n≥1, on va montrer que :

si v_n=(-3)ⁿ+2
⇒ (-3)×v_n=(-3)×((-3)ⁿ+2) On multiplie par (-3)
⇒ -3v_n=(-3)ⁿ⁺¹-6 On distribue
⇒ -3v_n+8=(-3)ⁿ⁺¹-6+8 On rajoute 8
⇒ v_n+1=(-3)ⁿ⁺¹+2 CQFD

Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, on a bien : pour tout entier n non nul : v_n=(-3)ⁿ+2.

On va montrer par récurrence que, pour tout entier n : t_n=3×4ⁿ-1.

Initialisation : On vérifie pour n=1.
t₁=11 et 3×4¹-1=12-1=11
On a bien : t₁=3×4¹-1

Hérédité : Pour tout entier n≥1, on va montrer que :

si t_n=3×4ⁿ-1
⇒ 4×t_n=4×(3×4ⁿ-1) On multiplie par 4
⇒ 4t_n=3×4ⁿ⁺¹-4 On distribue
⇒ 4t_n+3=3×4ⁿ⁺¹-4+3 On rajoute 3
⇒ t_n+1=3×4ⁿ⁺¹-1 CQFD

Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, on a bien : pour tout entier n non nul : t_n=3×4ⁿ-1.

On va montrer par récurrence que, pour tout entier n≥1 : v_n≤5.

Initialisation : On vérifie pour n=1.
v₁=2≤5
On a bien : v₁≤5

Hérédité : Pour tout entier n≥1, on va montrer que :

si v_n≤5
⇒ \(\cfrac{3}{5}\)×v_n≤\(\cfrac{3}{5}\)×5 On multiplie par affrac(3,5)
⇒ \(\cfrac{3}{5}\)v_n≤3
⇒ \(\cfrac{3}{5}\)v_n+2≤3+2 On rajoute 2
⇒ v_n+1≤5 CQFD

Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, on a bien : pour tout entier n non nul: v_n≤5.