Les exercices types

Exercice 1 : Avec une égalité

Corrigé de l'exercice 1

On va montrer par récurrence que, pour tout entier n : u_n=2ⁿ+5.

Initialisation : On vérifie pour n=0.
u₀=6 et 2⁰+5=1+5=6
On a bien : u₀=2⁰+5

Hérédité : Pour tout entier n, on va montrer que :

si u_n=2ⁿ+5 alors u_n+1=2ⁿ⁺¹+5.

si u_n=2ⁿ+5
⇒ 2×u_n=2×(2ⁿ+5) On multiplie par 2
⇒ 2u_n=2ⁿ⁺¹+10 On distribue
⇒ 2u_n-5=2ⁿ⁺¹+10-5 On retranche 5
⇒ u_n+1=2ⁿ⁺¹+5 CQFD

Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, on a bien : pour tout entier n : u_n=2ⁿ+5.

On va montrer par récurrence que, pour tout entier n non nul : v_n=(-3)ⁿ+2.

Initialisation : On vérifie pour n=1.
v₁=-1 et (-3)¹+2=-3+2=-1
On a bien : v₁=(-3)¹+2

Hérédité : Pour tout entier n≥1, on va montrer que :

si v_n=(-3)ⁿ+2 alors v_n+1=(-3)ⁿ⁺¹+2.

si v_n=(-3)ⁿ+2
⇒ (-3)×v_n=(-3)×((-3)ⁿ+2) On multiplie par (-3)
⇒ -3v_n=(-3)ⁿ⁺¹-6 On distribue
⇒ -3v_n+8=(-3)ⁿ⁺¹-6+8 On rajoute 8
⇒ v_n+1=(-3)ⁿ⁺¹+2 CQFD

Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, on a bien : pour tout entier n non nul : v_n=(-3)ⁿ+2.

On va montrer par récurrence que, pour tout entier n : t_n=3×4ⁿ-1.

Initialisation : On vérifie pour n=1.
t₁=11 et 3×4¹-1=12-1=11
On a bien : t₁=3×4¹-1

Hérédité : Pour tout entier n≥1, on va montrer que :

si t_n=3×4ⁿ-1 alors t_n+1=3×4ⁿ⁺¹-1.

si t_n=3×4ⁿ-1
⇒ 4×t_n=4×(3×4ⁿ-1) On multiplie par 4
⇒ 4t_n=3×4ⁿ⁺¹-4 On distribue
⇒ 4t_n+3=3×4ⁿ⁺¹-4+3 On rajoute 3
⇒ t_n+1=3×4ⁿ⁺¹-1 CQFD

Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, on a bien : pour tout entier n non nul : t_n=3×4ⁿ-1.

Exercice 2 : Avec des inégalités

Corrigé de l'exercice 2

On va montrer par récurrence que, pour tout entier n≥1 : v_n≤5.

Initialisation : On vérifie pour n=1.
v₁=2≤5
On a bien : v₁≤5

Hérédité : Pour tout entier n≥1, on va montrer que :

si v_n≤5 alors v_n+1≤5.

si v_n≤5
⇒ \(\cfrac{3}{5}\)×v_n≤\(\cfrac{3}{5}\)×5 On multiplie par affrac(3,5)
⇒ \(\cfrac{3}{5}\)v_n≤3
⇒ \(\cfrac{3}{5}\)v_n+2≤3+2 On rajoute 2
⇒ v_n+1≤5 CQFD

Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, on a bien : pour tout entier n non nul: v_n≤5.

Exercice 3 : Avec des fonctions

Corrigé de l'exercice 3

1. \(f'(x)=6x^2-4x+1\)
Pour étudier les variation de \(f\) on étudie le signe de \(f'(x)\).
Δ =(-4)²-4×6×1=-8, donc \(f'(x)\) est du signe de a=6 soit positif, ainsi f est croissante sur ℝ.

2. a. \(u_1=f(1)=-1\).

2. b. On va montrer par récurrence que, pour tout entier n : u_n+1≤u_n.

Initialisation : On vérifie pour n=0.
u₀=1 et u₁=-1
On a bien : u₁≤u₀

Hérédité : Pour tout entier n, on va montrer que :

si u_n+1≤u_n alors u_n+2≤u_n+1.

si u_n+1≤u_n
⇒ \(f\)(u_n+1)≤\(f\)(u_n) , car \(f\) est croissante sur ℝ
⇒ u_n+2≤u_n+1

Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, on a bien : pour tout entier n : u_n+1≤u_n.

2. c. D'après 2. b. pour tout entier n : u_n+1≤u_n, c'est à dire que (u_n) est décroissante.

Exercice 4 : Avec une fonction 2

Corrigé de l'exercice 4

DM à rendre...

Exercice 5 : Montrer une formule

Corrigé de l'exercice 5

Exercice 48

On va montrer par récurrence que, pour tout entier \(n\ge 1\) : \(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=\cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \).

Initialisation : On vérifie pour n=1.
\(S_1=1^2=1\) et \(\cfrac{1(1+1)(2\times 1+1)}{6} =1\). C'est vérifié.

Hérédité : Pour tout entier n≥1, on va montrer que :

si \(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=\cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) alors \(S_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^2=\cfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=\cfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \).

si \(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=\cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
⇒ \(S_n+(n+1)^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2+(n+1)^2=\cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \)
⇒ \(S_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^2=\cfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \)
⇒ \(S_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^2=\cfrac{(n+1)\left(n(2n+1)+6(n+1)\right)}{6} \)
⇒ \(S_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^2=\cfrac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6} \)
⇒ \(S_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^2=\cfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \) CQFD

Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, on a bien : pour tout entier n non nul: \(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=\cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \).

Exercice 49

On va montrer par récurrence que, pour tout entier \(n\ge 1\) : \(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3=\cfrac{n^2(n+1)^2}{4} \).

Initialisation : On vérifie pour n=1.
\(S_1=1^3=1\) et \(\cfrac{1^2(1+1)^2}{4} =1\). C'est vérifié.

Hérédité : Pour tout entier n≥1, on va montrer que :

si \(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3=\cfrac{n^2(n+1)^2}{4} \) alors \(S_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^3=\cfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} \).

si \(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3=\cfrac{n^2(n+1)^2}{4} \)
⇒ \(S_n+(n+1)^3=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3+(n+1)^3=\cfrac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 \)
⇒ \(S_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^3=\cfrac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4} \)
⇒ \(S_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^3=\cfrac{(n+1)^2\left(n^2+4(n+1)\right)}{4} \)
⇒ \(S_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^3=\cfrac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4} \)
⇒ \(S_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^3=\cfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} \) CQFD

Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, on a bien : pour tout entier n non nul: \(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3=\cfrac{n^2(n+1)^2}{4} \).