Trouver le nombre de bits

Nombre de bits nécessaire à l'écriture en binaire d'un entier naturel

Sur 8 bits le plus grand entier positif possible est 11111111 (soit 255) et le plus petit 00000000 (soit 0), on peut donc représenter 2⁸ entiers.

Propriété :Plus généralement, nous pouvons dire que pour une représentation sur n bits, il sera possible de coder des valeurs comprises entre 2ⁿ-1 et 0, soit 2ⁿ entiers.

Une question très fréquente est le nombre de bits nécessaire à l'écriture d'un entier. Par exemple 22=(10110)₂ n'utilise que 5 bits, on constate que 2⁴ ≤ 22 < 2⁵

Propriété fondamentale :Plus généralement, si k un entier naturel tel que 2^N-1 ≤ k < 2^N (où N est un entier naturel), alors il faut (au moins) N bits pour écrire l'entier naturel k en binaire.

Nombre de bits nécessaire à l'écriture en binaire d'un entier relatif

Ecriture binaire d'un entier relatif par bit de signe

Sur 8 bits le plus grand entier possible est 01111111 (soit 127)et le plus petit est 11111111 (soit -127). Avec cette méthode on peut coder sur 8 bits, les nombres compris entre -2⁷+1 et 2⁷-1, soit 2⁸-1 entiers.
Remarque : Il y a 2 représentations de "0" : 00000000 et 10000000.

Propriété :Plus généralement, nous pouvons dire que pour une représentation binaire d'un entier relatif par bit de signe sur n bits, il sera possible de coder des valeurs comprises entre -(2^n-1-1) et 2^n-1-1, soit 2ⁿ-1 entiers relatifs.

Ecriture binaire d'un entier relatif par complément à 2

Sur 8 bits le plus grand entier possible est 01111111 (soit 127)et le plus petit est 10000000 (soit -128). Avec cette méthode on peut coder sur 8 bits, les nombres compris entre -2⁷ et 2⁷-1, soit 2⁸-1 entiers.

Propriété :Plus généralement, nous pouvons dire que pour une représentation binaire d'un entier relatif par bit de signe sur n bits, il sera possible de coder des valeurs comprises entre -(2^n-1) et 2^n-1-1, soit 2ⁿ entiers relatifs.

Nombre de bits nécessaire à l'écriture en binaire d'une somme de 2 entiers

Avec des entiers naturels

Sur 4 bits le plus grand entier positif possible est 1111 (soit 15) et le plus petit 0 (soit 0). Donc la plus grande somme possible est 30 soit en binaire (11110)₂ soit un bit de plus.

Propriété : Plus généralement, nous pouvons dire que la somme de deux entiers naturels codés sur N bits pourra être codée sur N+1 bits.

Avec des entiers relatifs écrits avec bit de signe

Sur 4 bits le plus grand entier possible est 0111 (soit 7) et le plus petit 1111 (soit -7). Donc la plus grande somme possible est 14 soit en binaire (01110)₂ et la plus petite est -14 soit en binaire (11110)₂, soit un bit de plus.

Propriété : Plus généralement, nous pouvons dire que la somme de deux entiers relatifs codés sur N bits avec un bit de signe, pourra être codée sur N+1 bits.

Avec des entiers relatifs écrits avec le complément à 2

Sur 4 bits le plus grand entier possible est 0111 (soit 7) et le plus petit 1000 (soit -8). Donc la plus grande somme possible est 14 soit en binaire (01110)₂ et la plus petite est -16 soit en binaire (10000)₂, soit un bit de plus.

Propriété : Plus généralement, nous pouvons dire que la somme de deux entiers relatifs codés sur N bits avec le complément à 2, pourra être codée sur N+1 bits.

Nombre de bits nécessaire à l'écriture en binaire d'un produit de 2 entiers

Avec des entiers naturels

Sur 4 bits le plus grand entier positif possible est 1111 (soit 15) et le plus petit 0 (soit 0). Donc le plus grand produit possible est 15×15 = 225 soit en binaire (11100001)₂ donc sur 8 bits soit deux fois plus de bits.

Propriété : Plus généralement, nous pouvons dire que le produit de deux entiers naturels codés sur N bits (avec N>1) pourra être codée sur 2N bits.

Avec des entiers relatifs écrits avec bit de signe

Sur 4 bits le plus grand entier possible est 0111 (soit 7) et le plus petit 1111 (soit -7). Donc le plus grand produit possible est 49 soit en binaire (0110001)₂ et le plus petit est -49 soit en binaire (1110001)₂, donc sur 7 bits soit 2×4-1 bits.

Propriété : Plus généralement, nous pouvons dire que le produit de deux entiers relatifs codés sur N bits avec un bit de signe, pourra être codée sur 2N-1 bits.

Avec des entiers relatifs écrits avec le complément à 2

Sur 4 bits le plus grand entier possible est 0111 (soit 7) et le plus petit 1000 (soit -8). Donc le plus grand produit possible est (-8)×(-8)=64 soit en binaire (01000000)₂, donc 8 bits soit 2 fois plus de bits.

Propriété : Plus généralement, nous pouvons dire que la somme de deux entiers relatifs codés sur N bits avec le complément à 2, pourra être codée sur 2N bits.