Soit f la fonction polynôme définie sur ℝ par :
Etudier les variations de la fonction f.
Corrigé de l'exercice 1La dérivée de f(x) = -x3 + x2 + 2x - 3
f'(x) = -3x2 + 2x1 + 2 + 0 = -3x2 + 2x + 2
On cherche les racines de f'(x) avec le discriminant
Δ = b2 - 4ac.
a = -3, b = 2 et c = 2
Δ = 22 - 4×(-3)×2 = 28
Δ est positif, donc l'équation -3x2 + 2x + 2 = 0 admet deux solutions :
On remarque
Δ>0, f'(x) est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de -a à'intèrieur avec a=-3 négatif.
On en déduit le tableau de variations:
| x | -∞ | 1 - √ 7 3 |
1 + √ 7 3 |
+∞ |
|||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
f'(x) |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
||
| f(x) |  |
-3.6 |
 |
-0.9 |
|
Soit f la fonction définie sur ℝ - {-13} par :
Etudier les variations de la fonction f.
Corrigé de l'exercice 2On calcule f' avec la formule
On utilise la formule avec
f'(x) = (
f'(x) =
f'(x) =
f'(x) =
Conclusion : f'(x) =
Le dénominateur de f'(x) est (3x + 1)2 qui est un carré, or un carré est toujours positif, donc f'(x) est du même signe que 5.
On en déduit le tableau de variations:
| x | -∞ | -13 |
+∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
f'(x) |
+ |
|| | + |
||
| f(x) | |
|| | |
Soit f la fonction définie sur ℝ - {-2} par :
Etudier les variations de la fonction f.
Corrigé de l'exercice 3On calcule f' avec la formule
On utilise la formule avec
f'(x) = (
f'(x) =
f'(x) =
f'(x) =
Conclusion : f'(x) =
Le dénominateur de f'(x) est (x + 2)2 qui est un carré, or un carré est toujours positif, donc f'(x) est du même signe que x2 + 4x + 7.
On cherche les racines de x2 + 4x + 7 avec le discriminant
Δ = b2 - 4ac.
a = 1, b = 4 et c = 7
Δ = 42 - 4×1×7 = -12
Δ est négatif, donc le signe de x2 + 4x + 7 est le signe de a=1 donc positif.
On en déduit le tableau de variations:
| x | -∞ | -2 |
+∞ |
||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
f'(x) |
+ |
|| |
+ |
||||||
f(x) |
 |
|| |
|
||||||
Soit f la fonction définie sur [ 0 ; 10 ] par :
On considère le rectangle OMNP, avec O(0;0), M(x;0), N(x;f(x)) et P(0;f(x)).
1. Exprimer l'aire du rectangle OMNP en fonction de x.
2. Pour quelle valeur de x, cette aire est-elle maximale ?
Corrigé de l'exercice 41. L'aire du rectangle OMNP en fonction de x.
Aire de OMNP, A(x)= OM×OP = x(-0.5x + 5) = -0.5x2 + 5x.
2. Pour trouver l'aire maximale, on étudie les variations de A(x).
On calcule A'(x)
La dérivée de A(x) = -0.5x2 + 5x
A'(x) = -0.5×2x1 + 5 + 0 = -x + 5
On étudie le signe de A'(x)
A'(x)=0 pour x = -5-1 = 5
A'(x) est une fonction affine avec a=-1 négatif. D'où le tableau de variation :
| x | 0 | 5 |
10 |
||
|---|---|---|---|---|---|
f'(x) |
+ | 0 | - | ||
| f(x) | |
12.50 |
|
On place dans le tableau : A(5) = 12.50.
Conclusion : l'aire du rectangle OMNP est maximale pour x = 5.