On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur un intervalle I.

1. Signe de la dérivée et sens de variation d'une fonction

Propriété fondamentale

• La fonction \(f\) est croissante sur I ⇔ pour tout réel x de I, \(f'(x)>0\).
• La fonction \(f\) est décroissante sur I ⇔ pour tout réel x de I, \(f'(x)<0\).
• La fonction \(f\) est constante sur I ⇔ pour tout réel x de I, \(f'(x)=0\).

Conséquence

Pour étudier les variations d'une fonction sur un intervalle I, on se ramène souvent à l'étude du signe de sa fonction dérivée sur I.
Pour cela, on procède selon l'enchainement d'étapes :

1. Calcul de la fonction dérivée \(f'\).
2. Etude du signe de \(f'\) sur I.
3. Construction du tableau de variations de \(f\) sur I.
4. Calcul des images aux bornes de I, ainsi qu'aux éventuelles valeurs où l'on observe un changement de sens de variation de la fonction \(f\).

Exemples

Etude de la fonction carré \(f(x)=x^2\)

1. Calcul de la dérivée \(f'\).

   \(f'(x)=2x\).

2. Etude du signe de \(f'(x)\).

   \(f'(x)=2x=0\) pour \(x=0\) et \(x\rightarrow 2x\) est une fonction affine croissante, donc négative puis positive.

3. D'où le tableau de variations :

   x			0
   f'(x)		-	0	+
   f(x)			0

4. On calcule \(f(0)=0\).

Etude de la fonction inverse \(f(x)=\cfrac{1}{x}\) sur ℝ-{0}.

1. Calcul de la dérivée \(f'\).

   \(f'(x)=\cfrac{-1}{x^2}\)

2. Etude du signe de \(f'(x)\).

   \(f'(x)=\cfrac{-1}{x^2}\), son dénominateur est un carré qui est toujours positif, donc \(f'(x)\) a le même signe que son numérateur -1 soit négatif.

3. D'où le tableau de variations :

   x			0
   f'(x)		-	||	-
   f(x)			||

2. Extremums d'une fonction

Définition

• Le réel \(M\) est le maximum de \(f\) sur I, s'il existe un réel \(a\) tel que \(f(a)=M\) et, pour tout réel \(x\) de I, \(f(x)\le M\).
  On dit alors que le maximum \(M\) de \(f\) sur I est atteint en \(a\).
• Le réel \(m\) est le minimum de \(f\) sur I, s'il existe un réel \(a\) tel que \(f(a)=m\) et, pour tout réel \(x\) de I, \(f(x)\ge m\).
  On dit alors que le minimum \(m\) de \(f\) sur I est atteint en \(a\).
• On appelle extremum de \(f\) sur I le maximum ou le minimum de \(f\) sur I.
• On dit que le réel \(a\) est un extremum local de \(f\) sur l'intervalle I, s'il existe un intervalle J⊂I tel que \(a\) soit un extremum de \(f\) sur J.

Propriété

Soit \(a\) un réel de l'intervalle I qui n'est pas une borne de I.

• Si \(f\) admet un extremum local en \(a\), alors \(f'(a)=0\).
• Si la fonction dérivée \(f'\) s'annule en a en changeant de signe de part et d'autre de a, alors \(f\) admet un extremum local en a.

Commentaires

Deux cas de figures sont possibles autour de a pour le tableau e variations d'une fonction vérifiant la propriété précédente :

x			a
f'(x)		+	0	-
f(x)			f(a)

f(a) est un maximum

x			a
f'(x)		-	0	+
f(x)			f(a)

f(a) est un minimum

La fonction carré admet 0 comme minimum et est atteint pour x=0.