On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur un intervalle I.
Pour étudier les variations d'une fonction sur un intervalle I, on se ramène souvent à l'étude du signe de sa fonction dérivée sur I.
Pour cela, on procède selon l'enchainement d'étapes :
- Calcul de la fonction dérivée \(f'\).
- Etude du signe de \(f'\) sur I.
- Construction du tableau de variations de \(f\) sur I.
- Calcul des images aux bornes de I, ainsi qu'aux éventuelles valeurs où l'on observe un changement de sens de variation de la fonction \(f\).
Etude de la fonction carré \(f(x)=x^2\)
- Calcul de la dérivée \(f'\).
\(f'(x)=2x\).
- Etude du signe de \(f'(x)\).
\(f'(x)=2x=0\) pour \(x=0\) et \(x\rightarrow 2x\) est une fonction affine croissante, donc négative puis positive.
- D'où le tableau de variations :
x 0 f'(x)- 0 + f(x) 0 - On calcule \(f(0)=0\).
Etude de la fonction inverse \(f(x)=\cfrac{1}{x}\) sur ℝ-{0}.
- Calcul de la dérivée \(f'\).
\(f'(x)=\cfrac{-1}{x^2}\)
- Etude du signe de \(f'(x)\).
\(f'(x)=\cfrac{-1}{x^2}\), son dénominateur est un carré qui est toujours positif, donc \(f'(x)\) a le même signe que son numérateur -1 soit négatif.
- D'où le tableau de variations :
x 0 f'(x)- || - f(x) ||
Deux cas de figures sont possibles autour de a pour le tableau e variations d'une fonction vérifiant la propriété précédente :
x a f'(x)+ 0 - f(x) f(a)
f(a) est un maximum
x a f'(x)- 0 + f(x) f(a)
f(a) est un minimumLa fonction carré admet 0 comme minimum et est atteint pour x=0.