Les exercices types

Exercice 1 : Une variables aléatoire

Un sac contient 32
On choisit un jeton au hasard et on regarde sa couleur.
On définit X la variable aléatoire qui à la couleur :

1. Donner la loi de probabilité de X.

2. Interpréter l'événement (X≥).

3. Calculer la probabilité p(X≥).

Exercice 2 : Variables aléatoires et pièces de monnaie

On lance 2 pièces de monnaie parfaitement équilibrées. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de PILE.

1. a. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ?

1. b. Interpréter l'événement (X ≥ 1).

1. c. Quelle est la probabilité (X ≥ 1) ?

On lance 3 pièces de monnaie parfaitement équilibrées. On appelle Y la variable aléatoire qui donne le nombre de PILE.

2. a. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y ?

2. b. Quelle est la probabilité (Y ≥ 1) ?

On lance 2 pièces de monnaie parfaitement équilibrées. On note le nombre de PILE.

1. a. On va utiliser un tableau pour dénombrer tous les issues.

_{pièce 2}\^{pièce 1}	P	F
P	PP → 2	FP → 1
F	PF → 1	FF → 0

Les pièces sont équilibrées, donc on est en situation d'équiprobabilité et chaque case du tableau a la même probabilité \(p=\frac{1}{4}\).
Notre variable aléatoire X prend 3 valeurs :

0 avec \(p(X=0)=p(FF)=\frac{1}{4}\).
1 avec \(p(X=1)=p(PF,FP)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).
2 avec \(p(X=2)=p(PP)=\frac{1}{4}\)

D'où le tableau donnant la loi de probabilité de X :

X = x_i	0	1	2
P(X = x_i)	\(\cfrac{1}{4}\)	\(\cfrac{1}{2}\)	\(\cfrac{1}{4}\)

1. b. L'événement (X ≥ 1) est l'événement "le nombre de piles est supérérieur ou égal à 1" ou encore"obtenir au moins une fois PILE".

1. c. (X ≥ 1) = {1 ; 2}, d'où \(p(X ≥ 1)=p(X=1)+p(X=2)=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4}\).

On lance 3 pièces de monnaie parfaitement équilibrées. On note le nombre de PILE.

2. a. On va utiliser un arbre pour dénombrer les issues de cet expérience aléatoire.

Les pièces sont équilibrées, donc on est en situation d'équiprobabilité et chaque chemin de l'arbre a la même probabilité \(p=\frac{1}{8}\).
La variable aléatoire Y prend 4 valeur : 0, 1, 2 et 3.

D'où le tableau donnant la loi de probabilité de Y:

Y=y_i	0	1	2	3
P(Y=y_i)	\(\cfrac{1}{8}\)	\(\cfrac{3}{8}\)	\(\cfrac{3}{8}\)	\(\cfrac{1}{8}\)

2. b. L'événement contraire de (Y ≥ 1) est (Y < 1), donc (Y < 1)= (Y=0) = {0}.
\(p(\overline{Y\ge 1})=p(Y=0)=\cfrac{1}{8}\) et donc \(p(Y ≥ 1)=1-p(\overline{Y ≥ 1})=1-\cfrac{1}{8}=\cfrac{7}{8}\).

Exercice 3 : Variables aléatoires et dés

On lance deux dés équilibrés :

1. A l'aide d'un tableau dénombrer toutes les valeurs prises par X.

2. En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

3. Quelle est la probabilité de l'événement (X supérieur 4) ?

Exercice 4 : Variables aléatoires et arbres

Une urne contient 2 jetons indiscernables au toucher numérotés : 3-4.
On tire un jeton, on note le numéro, puis on remet le jeton dans l'urne. On fait cela 3 fois.
On considère X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois qu'on a tiré le numéro 3.

1. A l'aide d'un arbre dénombrer toutes les valeurs prises par X.

2. Quelle est la loi de probabilité de X ?

Exercice 5 : Calcul de l'espérance, de la variance et de l'écart-type

On considère X la variable aléatoire définie par la loi de probabilité suivante :

Calculer E(X), V(X) et σ(X).

Exercice 6 : Un jeu équitable

Un sac contient jetons dont un seul est doré.
Le but du jeu est de trouver le jeton doré avec les règles suivantes :

Si on tire le jeton doré à la premiére tentative, on gagne € ;
Si on n'a pas tiré le jeton doré, on peut tirer un deuxième jeton, si c'est le jeton doré, on gagne € ;
Sinon on perd € ;

On dédinit X la variable aléatoire qui donne le gain algébrique de ce jeu.

1. A l'aide d'un arbre pondéré, donner la la loi de probabilité de X.

2. Calculer E(X) et interpéter ce résultat.