Notion de variable aléatoire

On considère une expérience aléatoire associée à un univers Ω fini sur lequel on a défini une loi de probabilité P.

1. Variable aléatoire

Définition

Une variable aléatoire X est une fonction définie sur Ω et à valeurs dans ℝ, qui a tout élément de Ω fait correspondre un nombre réel.

Commentaires

• Comme Ω est fini, l'ensemble des valeurs prises par X est fini. On parle de variable aléatoire discrète.
• Pour une même expérience aléatoire, on peut définir plusieurs variables aléatoires.
• On nomme en général les variables aléatoires avec une lettre majuscule, par exemple X, Y , Z ou S.

Exemple

Un jeu consiste à lancer deux pièces de monnaie équilibrées différentes. On note F quand on obtient Face et P quand on obtient Pile.
Les quatre issues de l'expérience forme l'univers : Ω = {FF ; FP ; PF ; PP}.
On fixe la règle du jeu suivante :

• à chaque Pile obtenu, on gagne 3€ ;
• à chaque Face obtenu, on perd 1€.

On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur en €.

issues de Ω	FF	FP	PF	PP
valeurs de X	6	2	2	-2

Donc la variable aléatoire X prend les valeurs -2, 2 et 6.

Notations

Soit a un nombre réel. On note :

• {X = a} l'événement "la variable aléatoire prend la valeur a" ;
• {X ≥ a} l'événement "la variable aléatoire prend une valeur supérieure ou égale à a"

Commentaires

On peut définir de la même manière les événements : {X > a}, {X ≤ a} et {X < a}.

Exemple

Avec l'exemple précédent :

• {X = 6} = {FF} ;
• {X = 2} = {FP ; PF} ;
• {X ≤ 2} = {FP ; PF ; PP}.

2. Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Définition

Soit X une variable aléatoire définie sur Ω.
Définir la loi de probabilité de X, c'est associer à chacune des valeurs prises par X sa probabilité.
Autrement dit, en notant x₁, x₂ ... x_n les valeurs prises par X, c'est donner les valeurs des probabilités P(X = x_i) pour toutn entier i, où 1 ≤ i ≤ n.

Commentaire

On représente en général une loi de probabilité sous forme d'un tableau :

X = xi	x1	x2	...	xn
P(X = xi)	p1	p2	...	pn

Exemple

Avec l'exemple précédent :

• P(X = -2) = P({PP}) = \(\cfrac{1}{4}\)
• P(X = 2) = P({FP ; PF}) = \(\cfrac{1}{2}\)
• P(X = 6) = P({FF}) = \(\cfrac{1}{4}\)

D'où la loi de probabilité de X :

X = xi	-2	2	6
P(X = xi)	\(\cfrac{1}{4}\)	\(\cfrac{1}{2}\)	\(\cfrac{1}{4}\)

Propriété

Dans le tableau qui donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire, la somme des probabilités est égale à 1.

Exemple

Avec l'exemple précédent, on a bien \(\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}=1\).

Espérance, variance et écart-type

Dans ce paragraphe, on considère une variable aléatoire X définie sur un univers Ω fini et dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.

X = xi	x1	x2	...	xn
P(X = xi)	p1	p2	...	pn

1. Définitions

Définition

L'espérance de la variable aléatoire X est le réel noté \(E(X)\) défini par : \(E(X)=p_1\times x_1+p_2\times x_2+...+p_n\times x_n\).

On peut noter : $$E(X) = \sum_{i=1}^n p_i\times x_i $$

Commentaire

L'espérance s'interprète comme la valeur moyenne prise par la variable aléatoire X lorsqu'on répète un grand nombre de fois l'expérience.

Définition

La variance de la variable aléatoire X est le réel positif noté \(V(X)\) défini par :
\(V(X)=p_1\times (x_1-E(X))^2+p_2\times (x_2-E(X))^2+...+p_n\times (x_n-E(X))^2\).

On peut noter : $$V(X) = \sum_{i=1}^n p_i\times (x_i-E(X))^2 $$

L'écart-type noté \(\sigma (X)\), est le réel égal à la racine carrée de la variance : \(\sigma (X)=\sqrt{V(X)}\).

Commentaire

La variance représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance E(X). Elle mesure la dispersion des valeurs prises par la variable aléatoire X autour de son espérance E(X).

Exemple

Avec l'exemple précédent :

X = xi	-2	2	6
P(X = xi)	\(\cfrac{1}{4}\)	\(\cfrac{1}{2}\)	\(\cfrac{1}{4}\)

On calcule \(E(X), V(X)\) et \(\sigma (X)\) :

• \(E(X)=\cfrac{1}{4}\times (-2)+\cfrac{1}{2}\times 2+\cfrac{1}{4}\times 6=2\) ;
• \(V(X)=\cfrac{1}{4}\times (-2-2)^2+\cfrac{1}{2}\times (2-2)^2+\cfrac{1}{4}\times (6-2)^2=8\) ;
• \(\sigma (X)=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).

Avec la numworks

Avec la

2. Linéarité de l'espérance

Si a et b sont deux réels, on peut définir sur Ω une nouvelle variable aléatoire Y=aX + b, dont les images sont y_i = ax_i + b pour tout entier i de 1 à n.

Propriétés

Soient a et b deux réels ; on pose Y = aX + b, alors :

• E(Y) = aE(X) + b ;
• V(Y) = a²V(X) ;
• σ(Y) = |a|σ(X).

Exemple

Avec l'exemple précédent :

On considère la variabla aléatoire Y = 2X-3

Y = yi	-7	1	9
P(Y = yi)	\(\cfrac{1}{4}\)	\(\cfrac{1}{2}\)	\(\cfrac{1}{4}\)

On calcule \(E(X), V(X)\) et \(\sigma (X)\) :

• \(E(X)=2\times 2-3=1\) ;
• \(V(X)=2^2\times 8=32\) ;
• \(\sigma (X)=2\times 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\).