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Variables aléatoires

Notion de variable aléatoire

On considère une expérience aléatoire associée à un univers Ω fini sur lequel on a défini une loi de probabilité P.

1. Variable aléatoire

Définition

Une variable aléatoire X est une fonction définie sur Ω et à valeurs dans , qui a tout élément de Ω fait correspondre un nombre réel.

Commentaires

Exemple

Un jeu consiste à lancer deux pièces de monnaie équilibrées différentes. On note F quand on obtient Face et P quand on obtient Pile.
Les quatre issues de l'expérience forme l'univers : Ω = {FF ; FP ; PF ; PP}.
On fixe la règle du jeu suivante :

On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur en €.
issues de ΩFFFPPFPP
valeurs de X622-2
Donc la variable aléatoire X prend les valeurs -2, 2 et 6.

Notations

Soit a un nombre réel. On note :

Commentaires

On peut définir de la même manière les événements : {X > a}, {X ≤ a} et {X < a}.

Exemple

Avec l'exemple précédent :

2. Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Définition

Soit X une variable aléatoire définie sur Ω.
Définir la loi de probabilité de X, c'est associer à chacune des valeurs prises par X sa probabilité.
Autrement dit, en notant x1, x2 ... xn les valeurs prises par X, c'est donner les valeurs des probabilités P(X = xi) pour toutn entier i, où 1 ≤ i ≤ n.

Commentaire

On représente en général une loi de probabilité sous forme d'un tableau :

X = xix1x2...xn
P(X = xi)p1p2...pn

Exemple

Avec l'exemple précédent :

D'où la loi de probabilité de X :
X = xi-226
P(X = xi)\(\cfrac{1}{4}\)\(\cfrac{1}{2}\)\(\cfrac{1}{4}\)

Propriété

Dans le tableau qui donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire, la somme des probabilités est égale à 1.

Exemple

Avec l'exemple précédent, on a bien \(\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}=1\).

Espérance, variance et écart-type

Dans ce paragraphe, on considère une variable aléatoire X définie sur un univers Ω fini et dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.
X = xix1x2...xn
P(X = xi)p1p2...pn

1. Définitions

Définition

L'espérance de la variable aléatoire X est le réel noté \(E(X)\) défini par : \(E(X)=p_1\times x_1+p_2\times x_2+...+p_n\times x_n\).

On peut noter : $$E(X) = \sum_{i=1}^n p_i\times x_i $$

Commentaire

L'espérance s'interprète comme la valeur moyenne prise par la variable aléatoire X lorsqu'on répète un grand nombre de fois l'expérience.

Définition

La variance de la variable aléatoire X est le réel positif noté \(V(X)\) défini par : \(E(V)=p_1\times (x_1-E(X))^2+p_2\times (x_2-E(X))^2+...+p_n\times (x_n-E(X))^2\).

On peut noter : $$V(X) = \sum_{i=1}^n p_i\times (x_i-E(X))^2 $$

L'écart-type noté \(\sigma (X)\), est le réel égal à la racine carrée de la variance : \(\sigma (X)=\sqrt{V(X)}\).

Commentaire

La variance représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance E(X). Elle mesure la dispersion des valeurs prises par la variable aléatoire X autour de son espérance E(X).

Exemple

Avec l'exemple précédent :

X = xi-226
P(X = xi)\(\cfrac{1}{4}\)\(\cfrac{1}{2}\)\(\cfrac{1}{4}\)
On calcule \(E(X), V(X)\) et \(\sigma (X)\) :

Avec la numworks

Avec la

2. Linéarité de l'espérance

Si a et b sont deux réels, on peut définir sur Ω une nouvelle variable aléatoire Y=aX + b, dont les images sont yi = axi + b pour tout entier i de 1 à n.

Propriétés

Soient a et b deux réels ; on pose Y = aX + b, alors :

Exemple

Avec l'exemple précédent :

On considère la variabla aléatoire Y = 2X-3

Y = yi-719
P(Y = yi)\(\cfrac{1}{4}\)\(\cfrac{1}{2}\)\(\cfrac{1}{4}\)
On calcule \(E(X), V(X)\) et \(\sigma (X)\) :