On se place dans un repère orthonormé (O ; I ; J).
Commentaires
Il existe deux sens de parcours pour un point M sur C :
le sens direct (noté +) ou sens trigonométrique ;
le sens indirect (noté -), sens des aiguilles d'une montre
Le périmètre de C vaut \(2\pi\).
La longueur de l'arc \(\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}}\arc{IM}\) est proportionnelle à l'angle \(\widehat{IOM}\) en degré qui intercepte cet arc.
Il y a des angles qui ont des mesures négatives.
angle = -110°
2.Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique C
On considère le cercle trigonométrique C et T sa tangente au point I(1;0). Cette droite est appelée axe des réels.
Sur cette droite on considère les points d'ordonnée positive et les points d'ordonnée négative
On imagine qu'on enroule cette droite autour de C.
La demi-droite [IA) va s'enrouler sur le cercle dans le sens positif et la demi-droite [IB) dans le sens négatif
A tout nombre réel x on associe le point N de la tangente T de coordonnées (1;x), qui se superpose par enroulement sur un unique point M du cercle trigonométrique. M est appelé l'image de x sur le cercle C.
Commentaires
Inversement, tout point M du cercle C est associé à un nombre réel x, où x est égal à la longueur de l'arc \(\arc{IM}\), d'origine I, d'extrémité M et parcouru dans le sens positif.
Tout point M du cercle C associé à un réel x est également associé à une infinité de réels, de la forme x + 2kΠ avec k ∈ ℤ correspondant au nombre |k| de tours supplémentaires dans le sens direct ou indirect.
Ci-contre une animation permettant de visualiser l'enroulement d'une partie de la droite des réels (le segment [-10 ; 10]) autour du cercle trigonométrique. On peut voir que le point associé à x est aussi associé à d'autres réels.
x = 2angle = 0
3.Mesure d'angle en radian
Commentaires
Si x ∈ [0 ; Π[ la mesure x en radian de l'angle au centre \(\widehat{IOM}\) est proportionnelle à sa mesure en degré.
Voici la table de conversion entre les mesures des angles en degré et en radian :
mesure en degré
0
1
10
30
45
60
90
180
360
mesure en radian
\(0\)
\(\cfrac{\pi}{180}\)
\(\cfrac{\pi}{18}\)
\(\cfrac{\pi}{6}\)
\(\cfrac{\pi}{4}\)
\(\cfrac{\pi}{3}\)
\(\cfrac{\pi}{2}\)
\(\pi\)
\(2\pi\)
x = -2rad
2.Cosinus et sinus d'un nombre réel
1.Repérage d'un point sur le cercle trigonométrique
Commentaires
Le nombre 0 est associé au point I. Donc cos(0)=1 et sin(0)=0.
Le nombre \(\frac{\pi}{2}\) est associé au point J. Donc cos(\(\frac{\pi}{2}\))=0 et sin(\(\frac{\pi}{2}\))=1.
2.Lien avec la trigonométrie dans un triangle rectangle
Cette définition permet de définir \(cos(x)\) et \(sin(x)\) pour tout réel \(x\). Elle est cohérente et prolonge la définition donnée dans un triangle rectangle pour le cosinus et le sinus d'un angle aigu.
Ainsi lorsque l'angle \(\widehat{IOM}\) est aigu, dans le triangle \(OHM\) rectangle en \(H\) :
Déplacer le curseur pour parcourir le cercle trigonométrique et générer les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus.
x = -6.28
2.Propriétés
Commentaire
En effet pour tout entier x les points M et M' associés à x et -x sur le cercle trigonométrique C sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Ils ont donc des abscisses égales et des ordonnées opposées.
La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à O l'origine du repère.
Commentaire
En effet pour tout réel \(x\), les points du cercle trigonométrique C associés à \(x\) et à \(x+2\pi\) sont confondus.
Les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sont invariantes par translation de vecteur \(2\pi\overrightarrow{OI}\).
3.Variations et courbes représentatives
a.La fonction cosinus
La courbe représentative de la fonction cosinus
b. La fonction sinus
La courbe représentative de la fonction sinus
II.Dérivation
En utilisant la dérivabilité des fonctions cos et sin en 0, on obtient les limites.