Carte mentale : les fonctions

La courbe : La courbe de la fonction carré est une parabole.
Parité : La fonction carré est paire.
Signe : La fonction carré est positive et s'annulle en 0.
Variations : La fonction carré est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.

x -∞ 0 +∞

f(x) +∞ 0 +∞
Dérivée : $f'(x)=2x$.
Limites : $$\lim_{x\to -\infty}x^2=+\infty \text{ et} \lim_{x\to +\infty}x^2=+\infty$$
Primitive : $F(x)=\cfrac{x^3}{3}$.
Convexité : La fonction carré est convexe sur ]-∞ ; +∞[.

x	-∞		0		+∞
f(x)	+∞		0		+∞

La courbe : La courbe de la fonction inverse est une hyperbole.
Parité : La fonction inverse est impaire.
Signe : La fonction inverse est négative sur ]-∞ ; 0[ et positive sur ]0 ; +∞[.
Variations : La fonction inverse est décroissante sur ]-∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; +∞[.

x -∞ 0 +∞

f(x) 0 -∞ +∞ 0
Dérivée : $f'(x)=-\cfrac{1}{x^2}$.
Limites : $$\lim_{x\to -\infty}\cfrac{1}{x}=0 \text{ et} \lim_{x\to +\infty}\cfrac{1}{x}=0$$Donc il y a une asymptote horizontale d'équation $y=0$ $$\lim_{x\to 0^-}\cfrac{1}{x}=-\infty \text{ et} \lim_{x\to 0^+}\cfrac{1}{x}=+\infty$$Donc il y a une asymptote verticale d'équation $x=0$
Primitive : $F(x)=ln(x)$.
Convexité : La fonction inverse est concave sur ]-∞ ; 0[ et convexe sur ]0 ; +∞[.

x	-∞			0			+∞
f(x)	0		-∞		+∞		0

Parité : La fonction cube est impaire.
Signe : $f$ est négative sur ]-∞ ; 0[, nulle en 0 et positive sur ]0 ; +∞[.

x -∞ 0 +∞

f(x) - 0 +
Variations : La fonction cube est croissante sur ]-∞ ; +∞[.

x -∞ +∞

f(x) -∞ +∞
Dérivée : $f'(x)=3x^2$.
Limites : $$\lim_{x\to -\infty}x^3=-\infty \text{ et} \lim_{x\to +\infty}x^3=+\infty$$
Primitive : $F(x)=\cfrac{x^4}{4}$.
Convexité : La fonction cube est concave sur ]-∞ ; 0].
La fonction cube est convexe sur [0 ; +∞[.
La fonction cube admet un point d'inflexion en 0.

x	-∞		0		+∞
f(x)		-	0	+

x	-∞		+∞
f(x)	-∞		+∞

La courbe : La courbe de la fonction racine carrée est une demi-parabole couchée.
Ensemble de définition : La fonction racine carrée est définie sur [0 ; ∞[.
Parité : La fonction racine carrée n'est ni paire, ni impaire.
Signe : La fonction racine carrée est positive et s'annulle en 0.
Variations : La fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[.

x 0 +∞

f(x) 0 +∞
Dérivée : $f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
Limites : $$\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty$$
Primitive : $F(x)=\cfrac{2x\sqrt{x}}{3}$.
Convexité : La fonction racine carré est concave sur [0 ; +∞[.

x	0		+∞
f(x)	0		+∞

Parité : La fonction exponentielle n'est ni paire, ni impaire.
Signe : La fonction exponentielle est strictement positive sur ]-∞ ; +∞[.
Variations : La fonction exponentielle est croissante sur ]-∞ ; +∞[.

x -∞ +∞

f(x) 0 +∞
Dérivée : $f'(x)=e^{x}$.
règles de calcul
$e^x\times e^y=e^{x+y}, \cfrac{e^x}{e^y}=e^{x-y}, (e^x)^n=e^{nx}$
Limites : $$\lim_{x\to -\infty}e^{x}=0$$Donc il y a une asymptote horizontale d'équation : $y=0$ $$\lim_{x\to +\infty}e^{x}=+\infty$$Les croissances comparées $$\lim_{x\to -\infty}x^ne^x=0, \lim_{x\to +\infty}\cfrac{e^x}{x^n}=+\infty \text{ et} \lim_{x\to +\infty}\cfrac{e^x}{\sqrt{x}}=+\infty$$
Primitive : $F(x)=e^{x}$.
Convexité : La fonction exponentielle est convexe sur ]-∞ ; +∞[.

x	-∞		+∞
f(x)	0		+∞

Parité : La fonction ln n'est ni paire, ni impaire.
Signe : ln est négative sur ]0 ; 1[, nulle en 1 et positive sur ]1 ; +∞[.

x 0 1 +∞

f(x) - 0 +
Variations : La fonction ln est croissante sur ]0 ; +∞[.

x 0 +∞

f(x) -∞ +∞
Dérivée : $f'(x)=\cfrac{1}{x}$.
règles de calcul
$ln(xy)=ln(x)+ln(y), ln(\cfrac{x}{y})=ln(x)-ln(y), ln(x^n)=nln(x)$
Limites : $$\lim_{x\to 0}ln(x)=-\infty$$Donc il y a une asymptote verticale d'équation : $x=0$ $$\lim_{x\to +\infty}ln(x)=+\infty$$Les croissances comparées $$\lim_{x\to 0}x^nln(x)=0, \lim_{x\to +\infty}\cfrac{ln(x)}{x^n}=0 \text{ et} \lim_{x\to +\infty}\cfrac{ln(x)}{\sqrt{x}}=0$$
Primitive : $F(x)=xln(x)-x$.
Convexité : La fonction ln est concave sur ]0 ; +∞[.

Les fonctions au bac