Soit \(f\) la fonction définie sur I par :
Déterminer une primitive \(F\) de la fonction \(f\).
Corrigé de l'exercice 1
Soit \(f\) la fonction définie sur I par :
1. Déterminer une primitive \(F\) de la fonction \(f\).
2. Déterminer la primitive \(G\) de \(f\) telle que .
Corrigé de l'exercice 2
Soit \(f\) la fonction définie sur I par :
Déterminer une primitive \(F\) de la fonction \(f\).
Corrigé de l'exercice 3
Soit \(f\) la fonction définie sur I par :
1. Montrer que =0.
2. En déduire une primitive \(F\) de \(f\).
Corrigé de l'exercice 4
Soit \(f\) la fonction définie sur I par :
Montrer que =0 est une primitive de la fonction \(f\).
Corrigé de l'exercice 5
On considère l'équation différentielle \[(E) : \quad y' +\dfrac14y = 20e^{-\frac14 x},\] d'inconnue \(y\), fonction définie et dérivable sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\).
1. Déterminer la valeur du réel \(a\) tel que la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\) par \(g(x) = axe^{-\frac14 x}\) soit une solution particulière de l'équation différentielle \((E)\).
2. On considère l'équation différentielle
\[(E_0) : \quad y' +\dfrac14 y = 0,\]
d'inconnue \(y\), fonction définie et dérivable sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\).
Déterminer les solutions de l'équation différentielle \((E_0)\).
3. Montrer que \(f\) est une solution de \((E)\) si, et seulement si \(f-g\) est une solution de \((E_0)\).
En déduire les solutions de l'équation différentielle \((E)\).
4. Déterminer la solution \(f\) de l'équation différentielle \((E)\) telle que \(f(0) = 8\).
Corrigé de l'exercice 61. On calcule \(g'(x)\) :
On utilise les formules \((uv)'=u'v+uv'\) et \( \left(e^{ax+b}\right)'=ae^{ax+b}\)
\(g'x)=ae^{-\frac14 x} +ax\left(-\cfrac14\right)e^{-\frac14 x}=ae^{-\frac14 x} -\cfrac14 axe^{-\frac14 x} \)
On cherche \(a\)
\(g\) est une solution de (E) \( \Leftrightarrow g'+\dfrac14g = 20e^{-\frac14 x}\)
\(\Leftrightarrow ae^{-\frac14 x} \cancel{-\dfrac14 axe^{-\frac14 x}}+\cancel{\dfrac14 axe^{-\frac14 x}}=20e^{-\frac14 x}\)
\( \Leftrightarrow ae^{-\frac14 x} =20e^{-\frac14 x}\Leftrightarrow a = 20\)
2. Les solutions de l'équation différentielle \((E_0)\).
L'équation \((E_0)\) peut s'écrire \(y' = - \dfrac14y\) et on sait que les solutions de cette équation sont les fonctions \(f_0\) définies par:
\[f_0(x) = Ce^{-\frac14 x}\text{, avec }C \in \mathbb{R}\]
Conclusion : Les solutions de \((E_0)\) sont les fonctions \(f_0(x) = Ce^{-\frac14 x}\text{, avec }C \in \mathbb{R}\).
3. On va raisonner par équivalences successives :
\(f\) est une solution de \((E) \Leftrightarrow f'+\dfrac14f = 20e^{-\frac14 x}\)
\(\Leftrightarrow f'+\dfrac14f-\left(g'+\dfrac14g\right) = 20e^{-\frac14 x}-\left(20e^{-\frac14 x} \right)\) en utilisant 1. \( g'+\dfrac14g = 20e^{-\frac14 x}\)
\(\Leftrightarrow f'-g'+\dfrac14(f-g) = 0\)
\(\Leftrightarrow (f-g)'+\dfrac14(f-g) = 0\)
\(\Leftrightarrow (f-g)\) est une solution de \(E_0\)
En déduire les solutions de l'équation différentielle \((E)\).
\(\Leftrightarrow (f-g)(x) = Ce^{-\frac14 x}\text{, avec }C \in \mathbb{R}\) en utilisant 2.
\(\Leftrightarrow f(x) = g(x)+Ce^{-\frac14 x}\text{, avec }C \in \mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow f(x) = 20xe^{-\frac14 x}+Ce^{-\frac14 x}\text{, avec }C \in \mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow f(x) = e^{-\frac14 x}(20x + C)\text{, avec }C \in \mathbb{R}\)
Conclusion :les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(f(x) = e^{-\frac14 x}(20x + C)\text{, avec }C \in \mathbb{R}\).
4. Déterminer la solution \(f\) de l'équation différentielle \((E)\) telle que \(f(0) = 8\). On a \(f(0) = 8 \iff (20 \times 0 + C)e^{0} = 8 \iff C = 8\),donc \(f(x) = (20x + 8)e^{-\frac14 x} = 4\left (5x + 2\right )e^{-\frac14 x}\)
Conclusion : \(f(x) = 4\left (5x + 2\right )e^{-\frac14 x}\).
f est une fonction définie sur [0 ; +∞[ vérifiant :
On admet qu’une telle fonction f existe; le but de cette partie est d’en déterminer une expression.
On note f′ la fonction dérivée de f .
1. Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par \(g(t) =\cfrac{1}{f(t)} \).
Montrer que g est solution de l’équation différentielle (E2) : y′ = −0,3y +0,02.
2. Donner les solutions de l’équation différentielle (E2).
3. En déduire que pour tout t ∈ [0 ; +∞[ : \(f (t) = \cfrac{15}{14 e^{−0,3t} +1}\).
4. Déterminer la limite de f en +∞.
5. Résoudre dans l’intervalle [0 ; +∞[ l’inéquation f (t) > 14.
Corrigé de l'exercice 71. Si on a, pour tout réel positif \(t\), \(g(t) =\cfrac{1}{f(t)}\), alors pour tout réel \(t\) positif, on a : \(g'(t) = \cfrac{−f'(t)}{f^2(t)}\).
On aura alors : \(−0,3g(t)+0,02 =−0,3\cfrac{1}{f(t)}+0,02=\cfrac{−0,3+0,02f(t)}{f(t)}\)
Et, par ailleurs : \(g'(t) =\cfrac{−f'(t)}{f^2(t)}=\cfrac{-0,02f(t)(15− f(t))}{f^2(t)}\) car \(f\) est solution de (E1)
\(g'(t) =\cfrac{-0,02(15− f(t))}{f(t)}\), en simplifiant par f(t) car f ne s’annule pas sur [0 ; +∞[
\(g'(t) =\cfrac{-0,3+0,02 f(t)}{f(t)}\), en développant
\(g'(t) = −0,3g(t)+0,02\), donc on a bien que g est une solution de l’équation différentielle (E2).
2. Les solutions de l’équation (E2) sont, d’après une propriété du cours, les fonctions de la forme :
\( g_C(t)=Ce^{−0,3t} + \cfrac{−0,02}{−0,3} \text{, où } C \in \mathbb{R}.\)
\( g_C(t)=Ce^{−0,3t} + \cfrac{1}{15} \text{, où } C \in \mathbb{R}.\), en simplifiant.
3. Cherchons d'abord, la fonction g solution de E2 telle que \(g(0) = \cfrac{1}{f(0)}=1\)
\(g(0)=1 \Leftrightarrow Ce^{−0,3×0} +\cfrac{1}{15}= 1 \Leftrightarrow C + \cfrac{1}{15}= 1 \Leftrightarrow C = 1−\cfrac{1}{15} \Leftrightarrow C = \cfrac{14}{15} \)
La seule fonction solution de (E2) vérifiant g(0) = 1 est donc \(g(t)=\cfrac{14}{15}e^{−0,3t} +\cfrac{1}{15}\).
On en déduit donc que, pour tout t réel positif, on a :
\(f (t) =\cfrac{1}{g(t)}=\cfrac{1}{\cfrac{14}{15}e^{−0,3t} +\cfrac{1}{15}}=\cfrac{1}{\cfrac{14e^{−0,3t}+1}{15}}=\cfrac{15}{14e^{−0,3t}+1}\)
On arrive bien à l’expression annoncée.
4. On a : \(\displaystyle \lim_{t\to +\infty} -0,3t = -\infty \) et \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^x = 0 \)
donc par composition, \(\displaystyle \lim_{t\to +\infty} e^{-0,3t} = 0 \)
Par limite du produit et de la somme, on a alors : \(\displaystyle \lim_{t\to +\infty} 14e^{−0,3t} +1 = 1 \)
Finalement, par limite du quotient : \(\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \cfrac{15}{14e^{−0,3t} +1} = 15 \)
Conclusion :La fonction f tend vers 15 quand t tend vers \(+\infty\). Elle admet une asymptote horizontale d'équation \(y=15\)
5. Soit t un réel positif. Résolvons :
\(f(t) > 14 \Leftrightarrow \cfrac{15}{14e^{−0,3t} +1} > 14\)
\( \Leftrightarrow 15 > 14(14e^{−0,3t} +1) \text{, car } 14e^{−0,3t} +1 > 0\)
\( \Leftrightarrow 15 > 196e^{−0,3t} +14 \)
\( \Leftrightarrow 1 > 196e^{−0,3t} \)
\( \Leftrightarrow \cfrac{1}{196}> e^{−0,3t} \text{, car } 196 > 0 \)
\( \Leftrightarrow \ln\left(\cfrac{1}{196}\right) > \ln(e^{−0,3t}) \text{, car ln est strictement croissante sur } \mathbb{R} \)
\( \Leftrightarrow -\ln(196) > −0,3t \text{, par proriété de la fonction ln}\)
\( \Leftrightarrow \cfrac{-\ln(196)}{-0,3} \lt t \text{, car −0,3 < 0} \)
\( \Leftrightarrow t \gt \cfrac{\ln(196)}{0,3} \text{, en simplifiant les -} \)
Conclusion :L’ensemble des solutions de l’inéquation est donc l’intervalle \( \left] \cfrac{\ln(196)}{0,3} ; +\infty \right[ \)