Les exercices types

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1. On doit montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique, on cherche un réél q tel que \(v_{n+1}=q\times v_n\). Les étapes attendues sont :

• Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_{n+1}\) : \(v_{n+1} = (n+1)u_{n+1} - 1\).
• Remplacer \(u_{n+1}\) par son expression : \(v_{n+1} = (n+1)\frac{nu_n + 1}{2(n+1)} - 1\).
• Simplifier l'expression pour obtenir \(v_{n+1} = \frac{1}{2}(nu_n - 1) = \frac{1}{2}v_n\).
• Conclure que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = \frac{1}{2}\).
• Calculer le premier terme \(v_1 = 1 \cdot u_1 - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}\).

2. \(v_n\) en fonction de n : \(v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{2})^n = 0.5^n\).
\(v_n = nu_n - 1\), ce qui donne \(u_n = \frac{v_n + 1}{n}\).
Finalement \(u_n = \frac{1+(0.5)^n}{n}\).

3. \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (0.5)^n = 0\) car il s'agit d'une suite géométrique de raison q telle que \(-1 < q < 1\).
Donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (1+(0.5)^n) = 1\).
la limite du dénominateur : \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n = +\infty\).
Conclusion : \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0\). (limite d'un quotient)