Les exercices types

Exercice 1 : Limites 1

Soit (u_n) la suite définie par :

Déterminer la limite de (u_n).

Corrigé de l'exercice 1

Exercice 2 : Limite d'un quotient

Soit (u_n) la suite définie par :

Déterminer la limite de (u_n).

Corrigé de l'exercice 2

Exercice 3 : Limites de suites géométriques

Etudier la convergence des suites suivantes :

1. \(a_n=5^n\).

2. \(b_n=3\times \left( \cfrac{2}{7} \right)^n\).

3. \(c_n=(-2)^n\).

4. \(d_n=\cfrac{(-3)^n-2^n}{5^n}\).

5. \(e_n=\cfrac{7^{n+3}}{10^n}\).

Corrigé de l'exercice 3

1. \(a_n=5^n\).

\(q=5 > 1\), d'après le théorème des limites géométriques, on a \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} 5^{n}=+\infty \).

Conclusion : \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} a_{n}=+\infty \).

2. \(b_n=3\times \left( \cfrac{2}{7} \right)^n\).

\(-1\lt q=\cfrac{2}{7} \lt 1\), d'après le théorème des limites géométriques, on a \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left( \cfrac{2}{7} \right)^n=0 \), et donc \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} 3\times\left( \cfrac{2}{7} \right)^n=0 \).

Conclusion : \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} b_{n}=0\).

3. \(c_n=(-2)^n\).

\(q=-2 \lt -1\), d'après le théorème des limites géométriques, on a \(c_n \) n'a pas de limite.

Conclusion : \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} c_{n} \) n'esiste pas.

4. \(d_n=\cfrac{(-3)^n-2^n}{5^n}=\cfrac{(-3)^n\left(1-\cfrac{2^n}{(-3)^n}\right)}{5^n}=\cfrac{(-3)^n}{5^n}\left(1-\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n\right)=\left(\cfrac{-3}{5}\right)^n\left(1-\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n\right)\).

\(-1\lt q=\cfrac{-3}{5} \lt 1\), d'après le théorème des limites géométriques, on a \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left( \cfrac{-3}{5} \right)^n=0 \);
\(-1\lt q'=-\cfrac{2}{3} \lt 1\), d'après le théorème des limites géométriques, on a \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left( -\cfrac{2}{3} \right)^n=0 \) et donc \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} 1-\left( -\cfrac{2}{3} \right)^n=1 \)

Donc \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left( \cfrac{-3}{5} \right)^n\left(1-\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n\right)=0 \)

Conclusion : \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} d_{n}=0\).

5. \(e_n=\cfrac{7^{n+3}}{10^n}=\cfrac{7^n\times 7^3}{10^n}=\left(\cfrac{7}{10}\right)^n \times 7^3\).

\(-1\lt q=\cfrac{7}{10} \lt 1\), d'après le théorème des limites géométriques, on a \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left( \cfrac{7}{10} \right)^n=0 \), et donc \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left( \cfrac{7}{10} \right)^n \times 7^3=0 \).

Conclusion : \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} e_{n}=0\).

Exercice 4 : Théorème de comparaison

On considère la suite \(u\) définie sur \(\mathbb N^*\) par \(u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \cfrac{1}{\sqrt{k}}=1+\cfrac{1}{\sqrt{2}}+\cfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\cfrac{1}{\sqrt{n}}\).

1. Soit un entier \(n \ge 1\). Justifier que pour tout \(k\), \(1 \le k \le n\), on a : \( \cfrac{1}{\sqrt{k}} \ge \cfrac{1}{\sqrt{n}}\)

2. En déduire que pour tout entier \(n \ge 1\), \(u_n \ge \sqrt{n}\).

3. Déterminer la limite de la suite \(u\).

Corrigé de l'exercice 4

1. Si \(1 \le k \le n\) alors \(\sqrt{1} \le \sqrt{k} \le \sqrt{n}\) car la fonction racine carrée est croissante sur \([1:+\infty[\).

En simplifiant, on a : \(1 \le \sqrt{k} \le \sqrt{n}\).

Et donc \(\cfrac{1}{1} \ge \cfrac{1}{\sqrt{k}} \ge \cfrac{1}{\sqrt{n}}\) car la fonction inverse est décroissante sur \([1:+\infty[\)

Conclusion : Si \(1 \le k \le n\) alors\( \cfrac{1}{\sqrt{k}} \ge \cfrac{1}{\sqrt{n}}\).

2. Soit \(n \ge 1\). Pour \(1 \le k \le n\), on a \(\cfrac{1}{\sqrt{k}} \ge \cfrac{1}{\sqrt{n}}\), en additionnant \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \cfrac{1}{\sqrt{k}} \ge \displaystyle\sum_{k=1}^n \cfrac{1}{\sqrt{n}}=n\times \cfrac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\)

Conclusion : Pour tout \(n \ge 1\), \( u_n \ge \sqrt{n} \).

3. \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \sqrt{n}=+\infty \) et \( u_n \ge \sqrt{n} \), d'après le théorème de comparaison, on a \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty \)

Conclusion : \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty \).

Exercice 5 : Théorème des gendarmes

Etudier la convergence des suites suivantes :

1. \(u_n=\cfrac{(-1)^n}{n+2}\).

2. \(v_n=\cfrac{n\cos(n)+2}{n^2+2}\).

Corrigé de l'exercice 5

1. Pour tout entier \(n\), on a \(-1 \le (-1)^n \le 1 \).

\(n+2 \gt 0\) donc \(\cfrac{-1}{n+2} \le \cfrac{(-1)^n}{n+2} \le \cfrac{1}{n+2} \) et donc \(\cfrac{-1}{n+2} \le u_n \le \cfrac{1}{n+2} \)

On a \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{-1}{n+2}=0 \), \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{1}{n+2}=0 \) et \(\cfrac{-1}{n+2} \le u_n \le \cfrac{1}{n+2} \), d'après le théorème des gendarmes, on a \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n=0 \)

Conclusion : \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n=0 \).

2. Pour tout entier \(n\), on a \(-1 \le \cos(n) \le 1 \).

\(-1 \le \cos(n) \le 1 \Rightarrow -n \le n\cos(n) \le n\), car \(n \ge 0\)

\(\Rightarrow -n+2 \le n\cos(n)+2 \le n+2\)

\(\Rightarrow \cfrac{-n+2}{n^2+2} \le \cfrac{n\cos(n)+2}{n^2+2} \le \cfrac{n+2}{n^2+2}\), car \(n^2+2 \gt 0\)

\(\Rightarrow \cfrac{-n+2}{n^2+2} \le v_n \le \cfrac{n+2}{n^2+2}\), car \(n^2+2 \gt 0\)

On calcule les limites suivantes :

\(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{-n+2}{n^2+2}= \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{-n(1+\frac{2}{-n})}{n^2(1+\frac{2}{n^2})}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{-n}{n^2}\times \cfrac{(1+\frac{2}{-n})}{(1+\frac{2}{n^2})}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{-1}{n}\times \cfrac{(1+\frac{2}{-n})}{(1+\frac{2}{n^2})}\)
On a \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{-1}{n}=0\), \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} (1+\frac{2}{-n})=1 \) et \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} (1+\frac{2}{n^2})=1 \)

Donc \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{-n+2}{n^2+2}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{-1}{n}\times \cfrac{(1+\frac{2}{-n})}{(1+\frac{2}{n^2})}=0\)
\(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{n+2}{n^2+2}= \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{n(1+\frac{2}{n})}{n^2(1+\frac{2}{n^2})}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{n}{n^2}\times \cfrac{(1+\frac{2}{n})}{(1+\frac{2}{n^2})}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{1}{n}\times \cfrac{(1+\frac{2}{n})}{(1+\frac{2}{n^2})}\)

On a \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{1}{n}=0\), \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} (1+\frac{2}{n})=1 \) et \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} (1+\frac{2}{n^2})=1 \)

Donc \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{n+2}{n^2+2}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{1}{n}\times \cfrac{(1+\frac{2}{n})}{(1+\frac{2}{n^2})}=0\)

On a :\(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{-n+2}{n^2+2}=0\), \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \cfrac{n+2}{n^2+2}=0\) et \(\cfrac{-n+2}{n^2+2} \le v_n \le \cfrac{n+2}{n^2+2}\), d'après le théorème des gendarmes on a :\(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} v_n=0\).

Conclusion : \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} v_n=0 \).

Exercice 6 : Avec une suite géométrique

On considère la suite \(u\) définie sur \(\mathbb N^*\) par \(u_1=\cfrac{3}{2}\) et \(u_{n+1}=\cfrac{nu_n+1}{2(n+1)}\) et la suite \(v\) définie sur \(\mathbb N^*\) par \(v_n=nu_n-1\).

1. Montrer que la suite \( (v_n)\) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.

2. Montrer que pour tout enier naturel \(n\) non nul, on a :\(u_n=\cfrac{1+0,5^n}{n}\).

2. Déterminer la limite de \(u\).

Corrigé de l'exercice 6

1. On doit montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique, on cherche un réél q tel que \(v_{n+1}=q\times v_n\). Les étapes attendues sont :

Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_{n+1}\) : \(v_{n+1} = (n+1)u_{n+1} - 1\).
Remplacer \(u_{n+1}\) par son expression : \(v_{n+1} = (n+1)\frac{nu_n + 1}{2(n+1)} - 1\).
Simplifier l'expression pour obtenir \(v_{n+1} = \frac{1}{2}(nu_n - 1) = \frac{1}{2}v_n\).
Conclure que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = \frac{1}{2}\).
Calculer le premier terme \(v_1 = 1 \cdot u_1 - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}\).

2. \(v_n\) en fonction de n : \(v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{2})^n = 0.5^n\).
\(v_n = nu_n - 1\), ce qui donne \(u_n = \frac{v_n + 1}{n}\).
Finalement \(u_n = \frac{1+(0.5)^n}{n}\).

3. \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (0.5)^n = 0\) car il s'agit d'une suite géométrique de raison q telle que \(-1 < q < 1\).
Donc \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (1+(0.5)^n) = 1\).
la limite du dénominateur : \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n = +\infty\).
Conclusion : \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0\). (limite d'un quotient)