Corrigé de l'exercice 1A l'aide de la calculatrice
1. P(X = 5) = 5.
2. P(X ≤ 6) = 5.
3. P(X≥7) = 5.
4. P(8≤X≤9) = 5
5. E(X) = np = 5.
On appelle X la variable aléatoire d'espérance E(X)=3 de variance V(X)=4.
À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité P(3<X<3) est supérieure à 0.3.
Corrigé de l'exercice 2L'inégalité de Bienaymé-Tchebichev : \( P(|X-E(X)| \ge \delta) \le \cfrac{V(X)}{\delta^2}\).
On considère les variables aléatoires \(X_1, X_2,...,X_n \). On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes et suivent la même loi d'espérance μ=3 et de variance V=3.
On considère la variable aléatoire: \( M_n = \cfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n}\)
1. Déterminer l'espérance et la variance de \(M_n\).
2. Justifier, à l'aide de l'inégalité de concentration, que P(3 <M10 < 3) >0.3.
3. Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle l'inégalité de concentration permet d'affirmer que:
Corrigé de l'exercice 31. Les variables aléatoires \(X_1, X_2,...,X_n \) sont indépendantes donc :
2. L'inégalité de concentration : \( P(|M_n-\mu| \ge \delta) \le \cfrac{V}{n\delta^2}\).
3. On cherche la plus petite valeur de n pour laquelle l'inégalité de concentration permet d'affirmer que: