0. Espérance, variance et écart-type

Dans ce paragraphe, on considère une variable aléatoire X définie sur un univers Ω fini et dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.

X = xi	x1	x2	...	xn
P(X = xi)	p1	p2	...	pn

1. Définitions

Définition

L'espérance de la variable aléatoire X est le réel noté \(E(X)\) défini par : \(E(X)=p_1\times x_1+p_2\times x_2+...+p_n\times x_n\).

On peut noter : $$E(X) = \sum_{i=1}^n p_i\times x_i $$

Commentaire

L'espérance s'interprète comme la valeur moyenne prise par la variable aléatoire X lorsqu'on répète un grand nombre de fois l'expérience.

Définition

La variance de la variable aléatoire X est le réel positif noté \(V(X)\) défini par :
\(V(X)=p_1\times (x_1-E(X))^2+p_2\times (x_2-E(X))^2+...+p_n\times (x_n-E(X))^2\).

On peut noter : $$V(X) = \sum_{i=1}^n p_i\times (x_i-E(X))^2 $$

L'écart-type noté \(\sigma (X)\), est le réel égal à la racine carrée de la variance : \(\sigma (X)=\sqrt{V(X)}\).

Commentaire

La variance représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance E(X). Elle mesure la dispersion des valeurs prises par la variable aléatoire X autour de son espérance E(X).

Exemple

Avec l'exemple précédent :

X = xi	-2	2	6
P(X = xi)	\(\cfrac{1}{4}\)	\(\cfrac{1}{2}\)	\(\cfrac{1}{4}\)

On calcule \(E(X), V(X)\) et \(\sigma (X)\) :

• \(E(X)=\cfrac{1}{4}\times (-2)+\cfrac{1}{2}\times 2+\cfrac{1}{4}\times 6=2\) ;
• \(V(X)=\cfrac{1}{4}\times (-2-2)^2+\cfrac{1}{2}\times (2-2)^2+\cfrac{1}{4}\times (6-2)^2=8\) ;
• \(\sigma (X)=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).

Avec la numworks

Avec la

2. Linéarité de l'espérance

Si a et b sont deux réels, on peut définir sur Ω une nouvelle variable aléatoire Y=aX + b, dont les images sont y_i = ax_i + b pour tout entier i de 1 à n.

Propriétés

Soient a et b deux réels ; on pose Y = aX + b, alors :

• E(Y) = aE(X) + b ;
• V(Y) = a²V(X) ;
• σ(Y) = |a|σ(X).

Exemple

Avec l'exemple précédent :

On considère la variabla aléatoire Y = 2X-3

Y = yi	-7	1	9
P(Y = yi)	\(\cfrac{1}{4}\)	\(\cfrac{1}{2}\)	\(\cfrac{1}{4}\)

On calcule \(E(X), V(X)\) et \(\sigma (X)\) :

• \(E(X)=2\times 2-3=1\) ;
• \(V(X)=2^2\times 8=32\) ;
• \(\sigma (X)=2\times 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\).