X = xi | x1 | x2 | ... | xn |
---|---|---|---|---|
P(X = xi) | p1 | p2 | ... | pn |
L'espérance s'interprète comme la valeur moyenne prise par la variable aléatoire X lorsqu'on répète un grand nombre de fois l'expérience.
La variance représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance E(X). Elle mesure la dispersion des valeurs prises par la variable aléatoire X autour de son espérance E(X).
Avec l'exemple précédent :
On calcule \(E(X), V(X)\) et \(\sigma (X)\) :
X = xi -2 2 6 P(X = xi) \(\cfrac{1}{4}\) \(\cfrac{1}{2}\) \(\cfrac{1}{4}\)
- \(E(X)=\cfrac{1}{4}\times (-2)+\cfrac{1}{2}\times 2+\cfrac{1}{4}\times 6=2\) ;
- \(V(X)=\cfrac{1}{4}\times (-2-2)^2+\cfrac{1}{2}\times (2-2)^2+\cfrac{1}{4}\times (6-2)^2=8\) ;
- \(\sigma (X)=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Si a et b sont deux réels, on peut définir sur Ω une nouvelle variable aléatoire Y=aX + b, dont les images sont yi = axi + b pour tout entier i de 1 à n.
Avec l'exemple précédent :
On considère la variabla aléatoire Y = 2X-3
On calcule \(E(X), V(X)\) et \(\sigma (X)\) :
Y = yi -7 1 9 P(Y = yi) \(\cfrac{1}{4}\) \(\cfrac{1}{2}\) \(\cfrac{1}{4}\)
- \(E(X)=2\times 2-3=1\) ;
- \(V(X)=2^2\times 8=32\) ;
- \(\sigma (X)=2\times 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\).