Les portes logiques

Descriptions

Les portes logiques s 'appuient sur les principes de la logique binaire ( 0 , 1 ).

Nous allons passer en revue les différentes portes et tout d' abord quelques rappels et analogies avec les circuits électriques .

Le 0 représente un interrupteur ou contacteur ouvert (le courant ne passe pas) Le 1 représente un contacteur fermé (le courant passe).

Un contacteur normal ( a ) laisse passer le courant quand on l'actionne, un contacteur inverse ( $\bar a$ ) quand on le laisse au repos .

La fonction NON

Si a = 0 alors s = 1 et si a = 1 alors s = 0.

Voici le symbole de la porte logique et la table de vérité de la fonction NON.

s = NON a

a s 0 1 1 0

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La fonction ET

Voici le symbole de la porte logique et la table de vérité de la fonction ET.

s = a ET b

a b s 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

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La fonction OU

Voici le symbole de la porte logique et la table de vérité de la fonction OU.

s = a OU b

a b s 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

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La fonction OU EXCLUSIF

Voici le symbole de la porte logique et la table de vérité de la fonction XOR.

s = a XOR b

a b s 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

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Algèbre de Boole

Convention d'écriture

• NON a se note $\bar a$
• a ET b se note $a\cdot b$
• a OU b se note $a+b$
• a XOR b se note $a\oplus b$

Tout d’abord, les symboles utilisés en algèbre de Boole, bien qu'en apparence similaires à ceux des mathématiques, diffèrent dans leurs significations.

Ainsi

• le symbole " + " se lit " ou ". En effet l’expression " a + b = 1 " se lit " a ou b égal à 1 ". Cette condition est vérifiée pour a ou pour b (ou pour les deux en même temps) égale à 1
• le symbole " . " se lit " et ". En effet l’expression " a . b = 1 " se lit " a et b égal à 1 ". Cette condition est vérifiée pour a et b égal à 1. (Si l'un des deux vaut 0, l'équation n’est pas vérifiée)
• la variable " $\bar a$ " se lit " a barre " (ou " non a "). Elle prend la valeur opposé de a. Si a = 1 alors $\bar a$ = 0 et inversement.

Les propriétés

Propriété fondamentale

Toute expression booléenne peut s'écrire uniquement avec les 2 fonctions NON et ET.
En pratique, on en utilise trois avec la fonction OU, et même une quatrième avec la fonction XOR...

Propriété du OU

$a + 1 = 1 $
$a + 0 = a $
$a + a = a$
$a$ + $\bar a$$= 1$
$a + b = b + a$
$a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c )$

Démonstration

Montrons avec une table de vérité que $a + 1 = 1 $ :

a	1	a+1
0	1	1
1	1	1

Conclusion : $a + 1 = 1 $

Propriété du ET

$a . 1 = a $
$a . 0 = 0 $
$a . a = a$
$a$ . $\bar a$ $= 0$
$a . b = b . a$
$a . b . c = ( a . b ) . c = a . ( b . c )$

Démonstration

Montrons avec une table de vérité que $a . a = a$ :

a	a	a.a
0	0	0
1	1	1

Conclusion : $a . a = a$

Propriété du NON

$\bar {\bar a}$ = a
$\bar {\bar {\bar a}} = \bar a$

Démonstration

Montrons avec une table de vérité que $\bar {\bar a}$ = a :

$a$	$\bar a$	$\bar {\bar a}$
0	1	0
1	0	1

Conclusion : $\bar {\bar a}$ = a

Propriété de la distributivité

$a . ( b + c ) = a . b + a . c$
$( a + b ) . ( c + d ) = a . c + a . d + b . c + b . d$
$a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )$

Démonstration

Montrons avec une table de vérité que $a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )$ :

( a + b ) . ( a + c ) = a . a + a . c + b . a + b . c 
                      = a + a . c + b . a + b . c 
                      = a . (1 + b + c) + b . c  
                      = a . 1 + b . c 
                      = a + ( b . c )

Conclusion : $a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )$

Théorème de De Morgan

$\overline {a + b}$ = $\bar a$ . $\bar b$
$\overline {a . b}$ = $\bar a$ + $\bar b$

De la table de vérité aux portes logiques

En pratique, nous partons d'une table de vérité et nous devons arriver au circuit de portes logiques.

La méthode consistera à extraire de la table de vérité une expression booléenne, que nous essayerons de simplifier

Un exemple

Voici une table de vérité, créer un circuit de portes logiques associé.

$a$	$b$	$S$
0	1	0
0	0	1
1	1	1
1	0	1

1er étape :
On repère les lignes où la valeur S de sortie est 1

$a$	$b$	$S$
0	1	0
0	0	1
1	1	1
1	0	1

2ème étape :
On extrait une expression booléenne avec la règle suivante, dans chaque ligne choisie, si on a un 1 on associe le booléen ($a$ ou $b$), si on a un 0 on associe le booléen ($\bar a$ ou $\bar b$).
On obtient ainsi : $\bar a$ . $\bar b$ + $a$ . $b$ + $a$ . $\bar b$.
3ème étape :
On essaie de simplifier l'expression obtenue :
$S$ = $\bar a$ . $\bar b$ + $a$ . $b$ + $a$ . $\bar b$ = $\bar a$ . $\bar b$ + $a$ . $b$ + ($a$ . $\bar b$ + $a$ . $\bar b$) = $\bar b$ .($\bar a$ + $a$) + $a$ .($b$ + $\bar b$) = $\bar b$ + $a$.
Conclusion : $S$ est ègal à NON $b$ OU $a$.
4ème étape :
On en déduit le circuit des portes logiques :

Remarque : Dans cet exemple il y a trois "1" pour un "0", donc il est plus simple d'utiliser le complémentaire (le NON).

$a$	$b$	$\bar S$
0	1	1
0	0	0
1	1	0
1	0	0

On a donc : $\bar S$ = $\bar a$ . $b$ et avec les lois de Morgan : $S$ = $a$ + $\bar b$