Vocabulaire

On considère une expérience aléatoire, d'univers associé Ω, muni d'une loi de probabilité P.

1. Réalisation d'un événement sous condition

Définition

Soient A et B deux événements de Ω avec P(A) ≠ 0.
On note P_A(B) la probabilité de l'événement B sachant que l'événement A est réalisé.
On a : \(P_A(B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\).

Commentaires

• \(P_A(B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\) se lit "probabilité conditionnelle de B sachant A".
• \(P_A(A)=1\), sachant que A est réalisé, donc la probabilité que A se réalise est 1.
• En situation d'équiprobabilité, on a : \(P_A(B)=\cfrac{\text{nombre d'éléments de }A\cap B}{\text{nombre d'éléments de }A}\).
• \(P(A\cap B)=P_A(B)\times P(A)=P_B(A)\times P(B)\).

Exemple

Le tableau ci-dessous donne le nombre d'élèves reçus au baccalauréat dans une classe de terminale.

	Reçu	Non reçu	Total
Filles	18	1	19
Garçons	13	3	16
Total	31	4	35

On choisit un élève au hasard.

• La probabilité que l'élève soit reçu (R) sachant que l'élève est une fille (F) : \(P_F(R)=\cfrac{P(F\cap R)}{P(F)}=\cfrac{18}{19}\)
• La probabilité que l'élève soit une fille (F) sachant que l'élève est reçu (R) : \(P_R(F)=\cfrac{P(R\cap F)}{P(R)}=\cfrac{18}{31}\)

2. Arbre pondéré et probabilités conditionnelles

De nombreuses situations peuvent être modélisées par un arbre à deux niveaux comme celui ci-contre où A et b sont deux événements de Ω avec P(A)≠0. Sur chaque branche, on reporte la probabilité associée. On obtient ainsi un arbre pondéré.

• La probabilité sur la branche rouge du premier niveau correspond à la probabilité P(A) de l'événement A.
• La probabilité sur la branche orange du second niveau est la probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé, c'est-à-dire P_A(B).
• Les probabilités du second niveau sont toutes des probabilités conditionnelles.
• Le chemin complet A suivi de B représente l'événement A∩B.
• La somme des probabilités sur toutes les branches de même origine est égale à 1.

Ainsi on a : P_A(B)= 1 - P_A(B).

Définition

La probabilité d'un chemin complet est égal au produit des probabilités inscrites sur chaque branche du chemin : c'est le principe multiplicatif.

Commentaire

Le principe multiplicatif dans un arbre s'appuie sur l'égalité suivante : P(A∩B) = P(A) × P_A(B)

Exemple

Dans une maison de retraite, 95% des pensionnaires sont vaccinés contre la grippe. On observe que 15% des personnes vaccinées ont été atteintes par la maladie et que 65% des personnes non vaccinées ont été atteintes par le maladie.
On appelle V l'événement, "la personne est vaccinée" et M l'événement, "la personne est malade". La situation peut être représentée par l'arbre pondéré ci-dessus :

Avec l'énoncé, on a : P(V)=0,95 ; P_V(M)=0,15 et P_V(M)=0,65.

On en déduit que : P(V) = 1-P(V)= 1-0,95 = 0,05 ; P_V(M) = 1-P_V(M) = 1-0,15 = 0,85 et P_V(M) = 1-P_V(M)= 1-0,65 = 0,35.

Formule des probabilités totales

1. Partition d'un univers

Définition

Les événements A₁, A₂, A₃, ..., A_n d'un univers Ω de probabilités non nulles, forment une partition de l'univers lorqu'ils sont deux à deux incompatibles (ou disjoints) et A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ ... ∪ A_n = Ω.

Commentaire

• On dit que deux événements A et B sont incompatibles (ou disjoints)lorsqu'on a : A∩B=∅, c"est-à-dire A et B ne peuvent pas se produire simultanément.

Propriété

Soit A un événement d'un univers Ω de probabilité non nulle et A son événement contraire.
Les événements A et A forment une partition de l'univers Ω.

Commentaires

En effet, pour tout événement A de probabilité non nulle, on a :

• A ∩ A = ∅
• A ∪ A = Ω

2. Formule des probabilités totales

Propriété

Les événements A₁, A₂, A₃, ..., A_n d'un univers Ω de probabilités non nulles, qui forment une partition de l'univers Ω.
Pour tout événement B de l'univers Ω, on a la formule suivante, appelée formule des probabilités totales :

P(B) = P(A₁ ∩ B) + P(A₂ ∩ B) + P(A₃ ∩ B) + ... + P(A_n ∩ B).

Commentaires

• Pour tous événements A et B avec P(A)≠0, P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
  La formule des probabilités totales peut donc s'écrire sous la forme :
  P(B) = P(A₁) × P_A1(B) + P(A₂) × P_A2(B) + ... + P(A_n) × P_An(B).
• Soit A un événement d'un univers Ω de probabilité distincte de 0 et 1.
  Pour tout événement B, on a :
  P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) + P(A) × P_A(B).

Exemple

En reprenant l'arbre pondéré de l'exemple précédent :

La probabilité qu'une personne soit malade est :
P(M) = P(V ∩ M) + P(V ∩ M) = P(V) × P_V(M) + P(V) × P_V(M) = 0,95×0,15 + 0,05×0,65 = 0,175.

Indépendance en probabbilité

On considère une loi de probabilité P définie sur un univers Ω.

1. Evénements indépendants

Définition

Soient A et B deux événements de probabilités non nulles.
On dit que A et B sont indépendants lorsque P(A∩B) = P(A)×P(B).

Propriété

Soient A et B deux événements de probabilités non nulles.
A et B sont indépendants ⇔ P_A(B) = P(B) ⇔ P_B(A) = P(A).

Commentaires

• L'égalité P_A(B) = P(B) traduit le fait que la réalisation de A ne modifie pas la probabilité de l'événement B.
• Attention, il ne faut pas confondre événements indépendants et événements incompatibles. Des événements incompatibles ne sont pas indépendants.

Définition

Soient A et B deux événements de probabilités non nulles.
Si A et B sont deux événements indépendants alors les événements A et B sont aussi indépendants.

Commentaires

• Si A et B sont deux événements indépendants alors les événements A et B sont aussi indépendants.
• Si A et B sont deux événements indépendants alors les événements A et B sont aussi indépendants.

2. Epreuves indépendantes

Définition

On appelle succession de deux épreuves indépendantes la répétition à l'identique d'une expérience aléatoire deux fois, les résultats de la première épreuve n'influençant pas ceux de la seconde.

Commentaires

• Lors de la succession de deux épreuves indépendantes, les probabilités de chaque issue ne changent pas.
• On peut assimiler une succession de deux épreuves indépendantes à deux tirages successifs avec remise. En effet, lors de deux tirages successifs avec remise, les résultats du premier tirage n'influent pas ceux obtenus au second tirage.
• Pour représenter une succession de deux épreuves indépendantes, on peut utiliser un arbre pondéré à deux niveaux. Les événements et leurs probabilités restent les mêmes entre le premier niveau et le second niveau de l'arbre.

Exemple

Une urne contient deux boules vertes et une boule rouge indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise deux boules.
Voici l'arbre pondéré modélisant cette épreuve aléatoire :