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Probabilités conditionnelles

Vocabulaire

On considère une expérience aléatoire, d'univers associé Ω, muni d'une loi de probabilité P.

1. Réalisation d'un événement sous condition

Définition

Soient A et B deux événements de Ω avec P(A) ≠ 0.
On note PA(B) la probabilité de l'événement B sachant que l'événement A est réalisé.
On a : \(P_A(B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\).

Commentaires

Exemple

Le tableau ci-dessous donne le nombre d'élèves reçus au baccalauréat dans une classe de terminale.

ReçuNon reçuTotal
Filles18119
Garçons13316
Filles31435

On choisit un élève au hasard.

2. Arbre pondéré et probabilités conditionnelles

De nombreuses situations peuvent être modélisées par un arbre à deux niveaux comme celui ci-contre où A et b sont deux événements de Ω avec P(A)≠0. Sur chaque branche, on reporte la probabilité associée. On obtient ainsi un arbre pondéré.

Ainsi on a : PA(B)= 1 - PA(B).

Définition

La probabilité d'un chemin complet est égal au produit des probabilités inscrites sur chaque branche du chemin : c'est le principe multiplicatif.

Commentaire

Le principe multiplicatif dans un arbre s'appuie sur l'égalité suivante :
P(A∩B) = P(A) × PA(B)

Exemple

Dans une maison de retraite, 95% des pensionnaires sont vaccinés contre la grippe. On observe que 15% des personnes vaccinées ont été atteintes par la maladie et que 65% des personnes non vaccinées ont été atteintes par le maladie.
On appelle V l'événement, "la personne est vaccinée" et M l'événement, "la personne est malade". La situation peut être représentée par l'arbre pondéré ci-dessus :

Avec l'énoncé, on a : P(V)=0,95 ; PV(M)=0,15 et PV(M)=0,65.

On en déduit que : P(V) = 1-P(V)= 1-0,95 = 0,05 ; PV(M) = 1-PV(M) = 1-0,15 = 0,85 et PV(M) = 1-PV(M)= 1-0,65 = 0,35.

Formule des probabilités totales

1. Partition d'un univers

Définition

Les événements A1, A2, A3, ..., An d'un univers Ω de probabilités non nulles, forment une partition de l'univers lorqu'ils sont deux à deux incompatibles (ou disjoints) et A1A2A3...An = Ω.

Commentaire

Propriété

Soit A un événement d'un univers Ω de probabilité non nulle et A son événement contraire.
Les événements A et A forment une partition de l'univers Ω.

Commentaires

En effet, pour tout événement A de probabilité non nulle, on a :

2. Formule des probabilités totales

Propriété

Les événements A1, A2, A3, ..., An d'un univers Ω de probabilités non nulles, qui forment une partition de l'univers Ω.
Pour tout événement B de l'univers Ω, on a la formule suivante, appelée formule des probabilités totales :

P(B) = P(A1B) + P(A2B) + P(A3B) + ... + P(AnB).

Commentaires

Exemple

En reprenant l'arbre pondéré de l'exemple précédent :

La probabilité qu'une personne soit malade est :
P(M) = P(VM) + P(VM) = P(V) × PV(M) + P(V) × PV(M) = 0,95×0,15 + 0,05×0,65 = 0,175.

Indépendance en probabbilité

On considère une loi de probabilité P définie sur un univers Ω.

1. Evénements indépendants

Définition

Soient A et B deux événements de probabilités non nulles.
On dit que A et B sont indépendants lorsque P(A∩B) = P(A)×P(B).


Propriété

Soient A et B deux événements de probabilités non nulles.
A et B sont indépendants ⇔ PA(B) = P(B) ⇔ PB(A) = P(A).

Commentaires

Définition

Soient A et B deux événements de probabilités non nulles.
Si A et B sont deux événements indépendants alors les événements A et B sont aussi indépendants.

Commentaires

2. Epreuves indépendantes

Définition

On appelle succession de deux épreuves indépendantes la répétition à l'identique d'une expérience aléatoire deux fois, les résultats de la première épreuve n'influençant pas ceux de la seconde.

Commentaires

Exemple

Une urne contient deux boules vertes et une boule rouge indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise deux boules.
Voici l'arbre pondéré modélisant cette épreuve aléatoire :