Dans un jeu de 32, On choisit une carte au hasard.
1. Quelle est la probabilité d'obtenir un pique ?
2. Quelle est la probabilité d'obtenir une dame ?
3. Quelle est la probabilité d'obtenir une dame ou un pique ?
Corrigé de l'exercice 1Comme la carte est choisie au hasard, on est en situation d'équiprobabilité. Donc p=nombre de cartes32.
1. On appelle A l'événement "obtenir un pique".
Il y a 8 cartes de pique.
Donc p(A)=
2. On appelle B l'événement "obtenir une dame".
Il y a 4 cartes qui sont "une dame".
Donc p(B)=
3. L'événement "obtenir une dame ou un pique est l'événement A ∪ B.
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B). Il faut définir l'événement A ∩ B.
A ∩ B est l'événement "obtenir une dame de pique". Donc p(A ∩ B) =
On lance 2 pièces de monnaie parfaitement équilibrées. On note le nombre de PILE.
1. a. Quelle est la loi de probabilité de cette expérience aléatoire ?
1. b. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois PILE ?
On lance 3 pièces de monnaie parfaitement équilibrées. On note le nombre de PILE.
2. a. Quelle est la loi de probabilité de cette expérience aléatoire ?
2. b. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois PILE ?
Corrigé de l'exercice 2On lance 2 pièces de monnaie parfaitement équilibrées. On note le nombre de PILE.
1. a. On va utiliser un tableau pour dénombrer toutes les issues.
| pièce 2\pièce 1 | P | F |
|---|---|---|
| P | PP → 2 | FP → 1 |
| F | PF → 1 | FF → 0 |
Les pièces sont équilibrées, donc on est en situation d'équiprobabilité et chaque case du tableau a la même probabilité
Notre expéreience aléatoire a 3 issues :
D'où le tableau donnant la loi de probabilité :
| xi | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Pi |
1. b. On appelle A l'événement "obtenir au moins une fois PILE".
Donc A = {1 ; 2}, d'oùOn lance 3 pièces de monnaie parfaitement équilibrées. On note le nombre de PILE.
2. a. On va utiliser un arbre pour dénombrer les issues de cet expérience aléatoire.
Les pièces sont équilibrées, donc on est en situation d'équiprobabilité et chaque chemin de l'arbre a la même probabilité
Notre expéreience aléatoire a 4 issues : 0, 1, 2 et 3.
D'où le tableau donnant la loi de probabilité :
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Pi |
2. b. On appelle B l'événement "obtenir au moins une fois PILE".
Il est plus simple d'utiliser
On lance deux dés équilibrés :
On prend le minimum des numéros obtenus par chaque dé.
1. A l'aide d'un tableau dénombrer toutes les issues possibles.
2. En déduire la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.
3. Quelle est la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 2 ?
Corrigé de l'exercice 31. Tableau pour dénombrer toutes les issues possibles.
| dés | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 1 | 2 | 3 | 3 |
| 4 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 6 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Les deux dés sont équilibrés, on est donc en situation d'équiprobalilité, c'est-à-dire que "chaque case" du tableau a la même probabilité p = 124.
Cette expérience aléatoire a 4 issues : 1 ; 2 ; 3 ; 4.
2. La loi de probabilité de cette expérience aléatoire :
| x_i | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| p_i | 9/24 | 7/24 | 5/24 | 3/24 |
3. On appelle A l'événement "obtenir un résultat supérieur ou égal à 2".
p(A) =p(2) + p(3) + p(4) = 724 + 524 + 324 = 1524 = 5×38×3 = 58
Une urne contient 3 jetons indiscernables au toucher numérotés : 1 - 2 - 4.
On tire un jeton, on note le numéro, puis on remet le jeton dans l'urne. On fait cela 3 fois.
1. Dénombrer le nombre d'issues à l'aide d'un arbre.
2. Quelle est la probabilité que tous les jetons tirés ont le même numéro ?
Corrigé de l'exercice 41. L'arbre pour dénombrer toutes les issues :
Il y a donc 27 issues.
2. Les jetons sont indiscernables au toucher donc on est en situation d'équiprobabilité.
La probabilité p d'obtenir tous les jetons avec le même numéro est p = 327 = 1×39×3 = 19.
Une urne contient 4 jetons indiscernables au toucher numérotés : 1 - 2 - 3 - 5.
On tire successivement 3 jetons de l'urne. On obtient ainsi un nombre (le dernier jeton tiré est celui des unités)
1. Dénombrer le nombre d'issues à l'aide d'un arbre.
2. Quelle est la probabilité que le nombre obtenu soit divisible par 3 ?
Corrigé de l'exercice 51. L'arbre pour dénombrer toutes les issues :
Il y a donc 24 issues.
2. Les jetons sont indiscernables au toucher donc on est situation d'équiprobabilité.
On appelle A l'événement "obtenir un nombre divisible par 3".
A = {123,132,135,153,213,231,312,315,321,351,513,531}.
Donc la probabilité p(A) d'obtenir un nombre divisible par 3 est p(A) = 1224 = 1×122×12 = 12.
Une étude statistique a été faite sur les élèves d'un lycée, on leur a demandé le nombre de fois qu'ils ont pris l'avion.
A partir des fréquences de cette étude, on a modélisé la loi de probabilité suivante :
| X_i | 1 | 4 | 7 | 8 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|
| P_i | 0.080 | 0.120 | p | 0.080 | 0.520 |
1. Déterminer la probabilité p.
2. On choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité que le nombre de fois que cet élève ait pris l'avion soit supérieur ou égal à 7 ?
Corrigé de l'exercice 61. Calcul de la probabilité p :
p = 1 - (0.080 + 0.120 + 0.080 + 0.520) = 0.200.
2. Les jetons sont indiscernables au toucher donc on est situation d'équiprobabilité.
On appelle A l'événement "l'élève choisi a pris plus de 7 fois l'avion".
p(A) = p(7) + p(8) + p(14) = 0.200 + 0.080 + 0.520 =0.800.