- Si on lance une pièce, l'univers sera Ω = {Pile; Face}.
- Si on lance un dé cubique, l'univers sera Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Pour dénombrer les différentes issues dans des expériences aléatoires plus complexes, on pourra utiliser un tableau.
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer deux dés :
dé 2\dé 1 1 2 3 4 5 6 1 (1 ; 1) (2 ; 1) (3 ; 1) (4 ; 1) (5 ; 1) (6 ; 1) 2 (1 ; 2) (2 ; 2) (3 ; 2) (4 ; 2) (5 ; 2) (6 ; 2) 3 (1 ; 3) (2 ; 3) (3 ; 3) (4 ; 3) (5 ; 3) (6 ; 3) 4 (1 ; 4) (2 ; 4) (3 ; 4) (4 ; 4) (5 ; 4) (6 ; 4) 5 (1 ; 5) (2 ; 5) (3 ; 5) (4 ; 5) (5 ; 5) (6 ; 5) 6 (1 ; 6) (2 ; 6) (3 ; 6) (4 ; 6) (5 ; 6) (6 ; 6) Il y a donc 36 issues possibles.
Pour dénombrer les différentes issues dans des expériences aléatoires plus complexes, on pourra aussi utiliser un arbre.
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à tirer successivement deux jetons dans un sac contenant 4 jetons A, B, C et D :
Il y a donc 12 issues possibles, Ω = {AB ; AC ; AD ; BA ; ...}.
- Un événement A={xi} qui ne contient qu'une issue est appelé événement élémentaire.
- L'ensemble vide, noté ∅, est appelé événement impossible : aucune issue n'appartient à cet événement.
- L'univers Ω est l'événement qui contient toutes les issues. Il est appelé événement certain.
- \(\bar{A}\) est donc l'ensemble des issues qui ne réalisent pas \(A\).
- L'ensemble \(\bar{A}\) est le complémentaire de l'ensemble \(A\).
A et B deux événements d'un univers Ω.
En vert, A ∩ B :
En vert, A ∪ B :
On fait tourner une roue avec des secteurs numérotés 1, 2, 3, 5 et 10.
Voici la loi de probabilité de l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un numéro de cette roue.
xi 1 2 3 5 10 Pi 0,2 0,2 0,2 0,3 0,1
On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Voici la loi de probabilité de l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un numéro de ce dé.
xi 1 2 3 4 5 6 Pi \(\cfrac{1}{6}\) \(\cfrac{1}{6}\) \(\cfrac{1}{6}\) \(\cfrac{1}{6}\) \(\cfrac{1}{6}\) \(\cfrac{1}{6}\)
Modéliser une expérience aléatoire d'un univers Ω, c'est choisir une loi de probabilité sur Ω qui représente au mieux les chances de réalisation de chaque issue.
le choix du modèle peut résulter :
L'étude des naissances en France montre qu'il y a plus de naissances chez les garçons.
xi filles garçons Pi 0,488 0,512
Un dé cubique est truqué dont les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Voici la loi de probabilité de l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un numéro de ce dé.
xi 1 2 3 4 5 6 Pi \(\cfrac{1}{12}\) \(\cfrac{1}{4}\) \(\cfrac{1}{12}\) \(\cfrac{1}{6}\) \(\cfrac{1}{4}\) \(\cfrac{1}{6}\) L'événement A : "obtenir un numéro pair", est tel que A={2;4;6}.
Donc p(A)=p(2)+p(4)+p(6)=\(\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{7}{12}\).
On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Donc Ω={1;2;3;4;5;6}.
L'événement A : "obtenir un numéro pair", est tel que A={2;4;6}.
Donc \(p(A)=\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{2}\).
Cas particulier : lorsque deux événements A et B sont incompatibles, c'est-à-dire lorsque A∩B=∅, on a p(A∪B)=p(A)+p(B).