logo
Probabilités

Vocabulaire

Univers d'une expérience aléatoire

Définition

Exemples

Dénombrer les issues avec un tableau

Pour dénombrer les différentes issues dans des expériences aléatoires plus complexes, on pourra utiliser un tableau.

Exemple

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer deux dés :

dé 2\dé 1123456
1(1 ; 1)(2 ; 1)(3 ; 1)(4 ; 1)(5 ; 1)(6 ; 1)
2(1 ; 2)(2 ; 2)(3 ; 2)(4 ; 2)(5 ; 2)(6 ; 2)
3(1 ; 3)(2 ; 3)(3 ; 3)(4 ; 3)(5 ; 3)(6 ; 3)
4(1 ; 4)(2 ; 4)(3 ; 4)(4 ; 4)(5 ; 4)(6 ; 4)
5(1 ; 5)(2 ; 5)(3 ; 5)(4 ; 5)(5 ; 5)(6 ; 5)
6(1 ; 6)(2 ; 6)(3 ; 6)(4 ; 6)(5 ; 6)(6 ; 6)

Il y a donc 36 issues possibles.

Dénombrer les issues avec un arbre

Pour dénombrer les différentes issues dans des expériences aléatoires plus complexes, on pourra aussi utiliser un arbre.

Exemple

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à tirer successivement deux jetons dans un sac contenant 4 jetons A, B, C et D :

Il y a donc 12 issues possibles, Ω = {AB ; AC ; AD ; BA ; ...}.

Les événements

Définition

Un événement A est un sous-ensemble (ou une partie) de l'univers Ω d'une expérience aléatoire. On note A ⊂ Ω (se lit "A inclus dans Ω")
Dire qu'une issue xi de Ω réalise l'événement A signifie que xi est un élément de A. On note xi ∈ A.

Commentaires

Evénement contraire

Définition

\(A\) est un événement d'un univers Ω.
L'événement contraire de l'événement \(A\) est formé des issues de Ω qui n'appartiennent pas à l'événement \(A\).
On le note \(\bar{A}\) (se lit "A barre").

Commentaires

Intersection d'événements

A et B deux événements d'un univers Ω.

Définition

A et B deux événements d'un univers Ω.
L'intersection de A et B est l'événement formé des issues qui réalisent à la fois l'événement A ET l'événement B.
On le note A ∩ B (se lit "A inter B").

Commentaire

En vert, A ∩ B :

Définition

A et B deux événements d'un univers Ω.
La réunion de A et B est l'événement formé des issues qui réalisent l'événement A OU l'événement B.
On le note A ∪ B (se lit "A union B").

Commentaire

En vert, A ∪ B :

Probabilité sur un ensemble fini

Loi de probabilité sur un ensemble fini

Définitions

Ω = {x1 ; x2 ; ... ; xn1} désigne l'univers d'une expérience aléatoire.
Définir une loi de probabilité sur Ω, c'est associer à chaque issue xi un nombre pi, appelé probabilité de xi tel que :

Exemple

On fait tourner une roue avec des secteurs numérotés 1, 2, 3, 5 et 10.
Voici la loi de probabilité de l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un numéro de cette roue.

xi123510
Pi0,20,20,20,30,1
Définition

Lorsque, dans une expérience aléatoire, toutes les issues ont la même probabilité p de se réaliser, on dit qu'il y a équiprobabilité. Si cette expérience aléatoire possède \(n\) issues alors p=\(\cfrac{1}{n}\).

Exemple

On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Voici la loi de probabilité de l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un numéro de ce dé.

xi123456
Pi\(\cfrac{1}{6}\)\(\cfrac{1}{6}\)\(\cfrac{1}{6}\)\(\cfrac{1}{6}\)\(\cfrac{1}{6}\)\(\cfrac{1}{6}\)

Modélisation d'une expérience aléatoire

Modéliser une expérience aléatoire d'un univers Ω, c'est choisir une loi de probabilité sur Ω qui représente au mieux les chances de réalisation de chaque issue.
le choix du modèle peut résulter :

Exemple

L'étude des naissances en France montre qu'il y a plus de naissances chez les garçons.

xifillesgarçons
Pi0,4880,512

Calculs de probabilités

Probabilité d'un événement

Définition

Exemple

Un dé cubique est truqué dont les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Voici la loi de probabilité de l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un numéro de ce dé.

xi123456
Pi\(\cfrac{1}{12}\)\(\cfrac{1}{4}\)\(\cfrac{1}{12}\)\(\cfrac{1}{6}\)\(\cfrac{1}{4}\)\(\cfrac{1}{6}\)

L'événement A : "obtenir un numéro pair", est tel que A={2;4;6}.

Donc p(A)=p(2)+p(4)+p(6)=\(\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{7}{12}\).

Propriétés

Soit Ω un univers d'une expérience aléatoire.


Propriété

Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement \(A\) est donnée par : \[p(A)=\cfrac{\text{nombre d'issues de A}}{\text{nombre d'issues de }\Omega}\]

Exemple

On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Donc Ω={1;2;3;4;5;6}.
L'événement A : "obtenir un numéro pair", est tel que A={2;4;6}.
Donc \(p(A)=\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{2}\).

Des formules

Propriété

Pour tous événements A et B : \(\mathbf{p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)}\).

Commentaire

Cas particulier : lorsque deux événements A et B sont incompatibles, c'est-à-dire lorsque A∩B=∅, on a p(A∪B)=p(A)+p(B).

Propriété

Pour tout événement \(A\) : \(\mathbf{p(\bar{A})=1-p(A)}\)..