Probabilités

Vocabulaire

Univers d'une expérience aléatoire

Définition

Une expérience est dite aléatoire lorsqu'elle a plusieurs issues (ou résultats) possibles et que l'on ne peut prévoir laquelle de ces issues sera réalisée.
L'ensemble Ω (se lit "omega") ={x₁; x₂; ...; x_n} des issues possibles est appelé l'univers de cette expérience aléatoire.

Exemples

Si on lance une pièce, l'univers sera Ω = {Pile; Face}.
Si on lance un dé cubique, l'univers sera Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Dénombrer les issues avec un tableau

Pour dénombrer les différentes issues dans des expériences aléatoires plus complexes, on pourra utiliser un tableau.

Exemple

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer deux dés :

_{dé 2}\^{dé 1} 1 2 3 4 5 6

1 (1 ; 1) (2 ; 1) (3 ; 1) (4 ; 1) (5 ; 1) (6 ; 1)

2 (1 ; 2) (2 ; 2) (3 ; 2) (4 ; 2) (5 ; 2) (6 ; 2)

3 (1 ; 3) (2 ; 3) (3 ; 3) (4 ; 3) (5 ; 3) (6 ; 3)

4 (1 ; 4) (2 ; 4) (3 ; 4) (4 ; 4) (5 ; 4) (6 ; 4)

5 (1 ; 5) (2 ; 5) (3 ; 5) (4 ; 5) (5 ; 5) (6 ; 5)

6 (1 ; 6) (2 ; 6) (3 ; 6) (4 ; 6) (5 ; 6) (6 ; 6)

Il y a donc 36 issues possibles.

_{dé 2}\^{dé 1}	1	2	3	4	5	6
1	(1 ; 1)	(2 ; 1)	(3 ; 1)	(4 ; 1)	(5 ; 1)	(6 ; 1)
2	(1 ; 2)	(2 ; 2)	(3 ; 2)	(4 ; 2)	(5 ; 2)	(6 ; 2)
3	(1 ; 3)	(2 ; 3)	(3 ; 3)	(4 ; 3)	(5 ; 3)	(6 ; 3)
4	(1 ; 4)	(2 ; 4)	(3 ; 4)	(4 ; 4)	(5 ; 4)	(6 ; 4)
5	(1 ; 5)	(2 ; 5)	(3 ; 5)	(4 ; 5)	(5 ; 5)	(6 ; 5)
6	(1 ; 6)	(2 ; 6)	(3 ; 6)	(4 ; 6)	(5 ; 6)	(6 ; 6)

Dénombrer les issues avec un arbre

Pour dénombrer les différentes issues dans des expériences aléatoires plus complexes, on pourra aussi utiliser un arbre.

Exemple

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à tirer successivement deux jetons dans un sac contenant 4 jetons A, B, C et D :

Il y a donc 12 issues possibles, Ω = {AB ; AC ; AD ; BA ; ...}.

Les événements

Définition

Un événement A est un sous-ensemble (ou une partie) de l'univers Ω d'une expérience aléatoire. On note A ⊂ Ω (se lit "A inclus dans Ω")
Dire qu'une issue x_i de Ω réalise l'événement A signifie que x_i est un élément de A. On note x_i ∈ A.

Commentaires

Un événement A={x_i} qui ne contient qu'une issue est appelé événement élémentaire.
L'ensemble vide, noté ∅, est appelé événement impossible : aucune issue n'appartient à cet événement.
L'univers Ω est l'événement qui contient toutes les issues. Il est appelé événement certain.

Evénement contraire

Définition

\(A\) est un événement d'un univers Ω.
L'événement contraire de l'événement \(A\) est formé des issues de Ω qui n'appartiennent pas à l'événement \(A\).
On le note \(\bar{A}\) (se lit "A barre").

Commentaires

\(\bar{A}\) est donc l'ensemble des issues qui ne réalisent pas \(A\).
L'ensemble \(\bar{A}\) est le complémentaire de l'ensemble \(A\).

Intersection d'événements

A et B deux événements d'un univers Ω.

Définition

A et B deux événements d'un univers Ω.
L'intersection de A et B est l'événement formé des issues qui réalisent à la fois l'événement A ET l'événement B.
On le note A ∩ B (se lit "A inter B").

Commentaire

En vert, A ∩ B :

Définition

A et B deux événements d'un univers Ω.
La réunion de A et B est l'événement formé des issues qui réalisent l'événement A OU l'événement B.
On le note A ∪ B (se lit "A union B").

Commentaire

En vert, A ∪ B :

Probabilité sur un ensemble fini

Loi de probabilité sur un ensemble fini

Définitions

Ω = {x₁ ; x₂ ; ... ; x_n1} désigne l'univers d'une expérience aléatoire.
Définir une loi de probabilité sur Ω, c'est associer à chaque issue x_i un nombre p_i, appelé probabilité de x_i tel que :

pour tout entier i de ℕ avec 1≤ i ≤ n, 0 ≤ p_i ≤ 1.
p₁ + p₂ + ... +p_n = 1.

Exemple

On fait tourner une roue avec des secteurs numérotés 1, 2, 3, 5 et 10.
Voici la loi de probabilité de l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un numéro de cette roue.

x_i 1 2 3 5 10

P_i 0,2 0,2 0,2 0,3 0,1

x_i	1	2	3	5	10
P_i	0,2	0,2	0,2	0,3	0,1

Définition

Lorsque, dans une expérience aléatoire, toutes les issues ont la même probabilité p de se réaliser, on dit qu'il y a équiprobabilité. Si cette expérience aléatoire possède \(n\) issues alors p=\(\cfrac{1}{n}\).

Exemple

On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Voici la loi de probabilité de l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un numéro de ce dé.

x_i 1 2 3 4 5 6

P_i \(\cfrac{1}{6}\) \(\cfrac{1}{6}\) \(\cfrac{1}{6}\) \(\cfrac{1}{6}\) \(\cfrac{1}{6}\) \(\cfrac{1}{6}\)

x_i	1	2	3	4	5	6
P_i	\(\cfrac{1}{6}\)	\(\cfrac{1}{6}\)	\(\cfrac{1}{6}\)	\(\cfrac{1}{6}\)	\(\cfrac{1}{6}\)	\(\cfrac{1}{6}\)

Modélisation d'une expérience aléatoire

Modéliser une expérience aléatoire d'un univers Ω, c'est choisir une loi de probabilité sur Ω qui représente au mieux les chances de réalisation de chaque issue.
le choix du modèle peut résulter :

d'hypothèses implicites d'équiprobabilité : lancer de pièces ou de dés équilibrés, choisir au hasard une boule indiscernable au toucher...
de la réalisation d'une expérience aléatoire un grand nombre de fois. Les fréquences observées seront les probabilités des différentes issues.

Exemple

L'étude des naissances en France montre qu'il y a plus de naissances chez les garçons.

x_i filles garçons

P_i 0,488 0,512

x_i	filles	garçons
P_i	0,488	0,512

Calculs de probabilités

Probabilité d'un événement

Définition

La probabilité d'un événement A, notée p(A), est la somme des probabilités des issues qui réalisent A.

Exemple

Un dé cubique est truqué dont les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Voici la loi de probabilité de l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un numéro de ce dé.

x_i 1 2 3 4 5 6

P_i \(\cfrac{1}{12}\) \(\cfrac{1}{4}\) \(\cfrac{1}{12}\) \(\cfrac{1}{6}\) \(\cfrac{1}{4}\) \(\cfrac{1}{6}\)

L'événement A : "obtenir un numéro pair", est tel que A={2;4;6}.

Donc p(A)=p(2)+p(4)+p(6)=\(\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{7}{12}\).

x_i	1	2	3	4	5	6
P_i	\(\cfrac{1}{12}\)	\(\cfrac{1}{4}\)	\(\cfrac{1}{12}\)	\(\cfrac{1}{6}\)	\(\cfrac{1}{4}\)	\(\cfrac{1}{6}\)

Propriétés

Soit Ω un univers d'une expérience aléatoire.

p(∅) = 0.
p(Ω) = 1.
Pour tout événement A, 0 ≤ p(A) ≤ 1.

Propriété

Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement \(A\) est donnée par : \[p(A)=\cfrac{\text{nombre d'issues de A}}{\text{nombre d'issues de }\Omega}\]

Exemple

On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Donc Ω={1;2;3;4;5;6}.
L'événement A : "obtenir un numéro pair", est tel que A={2;4;6}.
Donc \(p(A)=\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{2}\).

Des formules

Propriété

Pour tous événements A et B : \(\mathbf{p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)}\).

Commentaire

Cas particulier : lorsque deux événements A et B sont incompatibles, c'est-à-dire lorsque A∩B=∅, on a p(A∪B)=p(A)+p(B).

Propriété

Pour tout événement \(A\) : \(\mathbf{p(\bar{A})=1-p(A)}\)..