Echantillonnage : algorithmique

Fréquence ou nombre de succès dans un échantillon

Nous avons besoin de la bibliothèque random pour utiliser la fonction randint(a,b) qui génére un entier aléatoire entre a et b.

from random import randint

Voici la fonction echantillon de paramètre n la taille de l'échantillon.

1. Décrire la fonction echantillon. Voir la solution

2. Modifier la fonction echantillon pour qu'elle renvoie la fréquence des succès. Voir la solution

from random import randint

def echantillon(n):
    nombre = 0
    for i in range(n):
        de=randint(1,6)
        if de == 6:
            nombre = nombre + 1
    return nombre/n  #il suffit de diviser par n

La loi des grands nombres

La valeur théorique de la probabilité d'obtenir un 6 avec un dé cubique est \(p=\cfrac{1}{6}=0,16666...\).

On va observer la fréquence des succès des échantillons avec des tailles de plus en plus grandes.

1. Lancer plusieurs fois ce code et observer les résultats.

Vous pouvez modifier les valeurs du code, mais attention à ne pas mettre des valeurs trop grandes...

Proportion de fréquences \(f\) telles que \(|f-\frac{1}{6}|\lt\frac{1}{\sqrt{n}}\)

On veut connaitre la proportion des fréquences \(f\) de N échantillons de tailles n qui vérifient \(|f-\frac{1}{6}|\lt\frac{1}{\sqrt{n}}\).

1. Ecrire l'intervalle de f qui correspond à la relation \(|f-\frac{1}{6}|\lt\frac{1}{\sqrt{n}}\) pour n = 100. Voir la solution

2. Quels paramètres n et N de la fonction proportionDansI doit-on saisir si on veut la proportion de fréquences de 100 échantillons de taille 1000 telle que \(|f-\frac{1}{6}|\lt\frac{1}{\sqrt{n}}\). Voir la solution

3. Tester cette fonction avec différents paramètres. Conclure.

Un autre exemple : la roue de fortune

On fait tourner la roue suivante, on note la couleur indiquée par le flèche.

Voici le code qui simule cette expérience aléatoire :

1. Ecrire la fonction echantillon de paramètre n qui renvoie la fréquence des succès d'un échantillon de taille n des résultats de l'expérience aléatoire, la roue de la fortune, dont le succès est "obtenir le vert" ? Voir la solution

from random import randint

def roue():
    a = randint(1,8)
    if a == 1:
        resultat = "vert"
    elif a == 2:
        resultat = "rouge"
    elif a <= 4:
        resultat = "bleu"
    else:
        resultat = "jaune"
    return resultat

def echantillon(n):
    nombre = 0
    for i in range(n):
        couleur=roue()
        if couleur == "vert":
            nombre = nombre + 1
    return nombre/n

2. Tester votre fonction avec plusieurs valeurs de n assez grandes. Conclure.