Fluctuation d'échantillonnage

Echantillons et fréquence observée

On considère une expérience aléatoire à deux issues. Par convention :

• l'une de ces issues est appelée "succès", de probabilité p ;
• l'autre est appelé "échec", de probabilité 1-p.

Définitions

Soit un entier naturel \(n\) non nul.
On répéte \(n\) fois l'expérience aléatoire de façon indépendante, c'est-à-dire sans que les résultats obtenus au fur et à mesure n'influent sur les résultats suivants.

• La liste des résultats obtenus est appelée échantillon de taille \(n\).
• La fréquence des succès observée \(f\) sur un échantillon de taille \(n\) comportant \(k\) succès se calcule par la formule : \(f=\cfrac{k}{n}\).

Fluctuation d'échantillonnage et la loi des grands nombres

On a recueilli expérimentalement les fréquence du succès associées à 100 échantillons de taille N pour p = 0,4.

Chaque point représente la fréquence observée dans un échantillon.

On constate que les fréquences de succès observées sur plusieurs échantillons de taille fixée fluctent autour de la probabilité p=0,4. C'est ce qu'on appelle la fluctuation d'échantillonnage.
Lorsque la taille N augmente, il semble que cette fluctuation diminue : les fréquences observées deviennent proches de p.

Loi des grands nombres

Lorsque la taille n de l'échantillon devient grande, sauf exception, les fréquences de succès observées f sont moins dispersées et demeurent proches de la probabilité p.

Principe de l'estimation d'une probabilité ou d'une proportion

Estimation d'une probabilité

On considère une expérience aléatoire et un événement A de probabilité inconnue p.
En procédant à des simulations de l'expérience et en considérantles deux issues :

• succès : "l'événement A est réalisé".
• échec : "l'événement A n'est pas réalisé".

On constitue des échantillons de taille n sur lesquels on peut calculer la fréquence de succès observée f.
D'après la loi des grands nombres, sauf exception, lorsque la taille n de l'échantillon est grande, la fréquence f est proche de la probabilité p.

Principe de l'estimation

On constitue des échantillons de taille n "grande".
Les fréquences de succès observées f donnent des valeurs approchées de la probabilité inconnue p.

Estimation d'une proportion

On s'intéresse à une population P composée d'individus susceptibles de revêtir ou non un caractère donné.
Choisir successivement et de façon indépendante n individus dans cette population revient à constituer un échantillon de taille n.
La proportion d'individus présentant le caractère étudié est notée :

• p dans l'ensemble de la population,
• f dans l'échantillon, que l'on nomme fréquence observée.

D'après la loi des grands nombres, sauf exception, lorsque la taille n de l'échantillon est grande, la fréquence f est très proche de la proportion p.

Principe de l'estimation

On constitue des échantillons de taille n "grande".
Les fréquences observées du caractère étudié f donnent des valeurs approchées de la proportion inconnue p.

Précision de l'estimation

Lorsqu'on approche la probabilité ou la proportion p par la fréquence observée f, l'erreur commise est égale à |f-p|.
Cette erreur est, sauf execption, d'autant plus petite que l'échantillon sur lequel est calculée la fréquence f est de taille n grande.

Propriété

Un résultat mathématique permet d'affirmer que dans une très grande majorité des cas on a : \(|f-p|\le\cfrac{1}{\sqrt{n}}\).

Exemple graphique

On a recueilli expérimentalement les fréquence du succès associées à 100 échantillons de taille N pour p = 0,4.

Chaque point rouge représente la fréquence observée dans un échantillon avec une erreur supérieure à \(\cfrac{1}{\sqrt{N}}\).

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