Rappel de 2nde

En classe de 2nde, on a appris à dénombrer les issues d'un univers, ce qui revient à compter les éléments d'un ensemble.

Dénombrer les issues avec un tableau

Pour dénombrer les différentes issues dans des expériences aléatoires plus complexes, on pourra utiliser un tableau.

Exemple

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer deux dés :

dé 2\dé 1	1	2	3	4	5	6
1	(1 ; 1)	(2 ; 1)	(3 ; 1)	(4 ; 1)	(5 ; 1)	(6 ; 1)
2	(1 ; 2)	(2 ; 2)	(3 ; 2)	(4 ; 2)	(5 ; 2)	(6 ; 2)
3	(1 ; 3)	(2 ; 3)	(3 ; 3)	(4 ; 3)	(5 ; 3)	(6 ; 3)
4	(1 ; 4)	(2 ; 4)	(3 ; 4)	(4 ; 4)	(5 ; 4)	(6 ; 4)
5	(1 ; 5)	(2 ; 5)	(3 ; 5)	(4 ; 5)	(5 ; 5)	(6 ; 5)
6	(1 ; 6)	(2 ; 6)	(3 ; 6)	(4 ; 6)	(5 ; 6)	(6 ; 6)

Il y a donc 36 issues possibles.

Dénombrer les issues avec un arbre

Pour dénombrer les différentes issues dans des expériences aléatoires plus complexes, on pourra aussi utiliser un arbre.

Exemple

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à tirer successivement Trois jetons dans un sac contenant 4 jetons A, B, C et D :

Il y a donc 24 issues possibles, Ω = {ABC ; ABD ; ACB ; ACD ; ...}.

L'inconvénient des arbres, c'est leur taille. Pour remédier à ce problème, on peut utiliser la méthode des cases qui consiste à marquer à chaque étape dans une case le nombre de choix.

Dans notre exemple il y a 3 cases.

On retrouve le résultat \(4\times 3\times 2 =24\)

Les principes de dénombrement

Principe additif

Définition

Le cardinal d'un ensemble E est le nombre d'éléments de E. On le note card(E).

Exemple

• E={A ; B ; C} alors card(E)=3.

Propriété

Si E₁, E₂, ..., E_p sont p ensembles finis deux à deux disjoints, alors :
card(E₁∪E₂∪ ...∪E_p) = card(E₁)+card(E₂)+ ...+card(E_p).

Commentaires

• E={A ; B ; C} et F={V ; W} alors E∪F={A ; B ; C ; V ; W} et évidemment card(E∪F)=5.
• Si les ensembles ne sont pas disjoints, alors on les découpe pour former une réunion d'ensembles disjoints.
  Par exemple :
  
  On découpe en 3 ensembles {les éléments que dans A} ∪ {A∩B} ∪ {les éléments que dans B}.

Principe multiplicatif

Définitions

On appelle couple, triplet et p-uplet une liste ordonnée respectivement de deux éléments, de trois éléments, de p éléments.

Commentaires

• Les éléments peuvent être des nombres, des lettres, des cartes, des fruits, en fait n'importe quoi.
• (1;2) et (A;3) sont deux couples.
• (1;2;3) et (A;3;#) sont deux triplets.
• (1;2;3;4;5;6;G) est un 7-uplets.

Définitions

E, F et G sont trois ensembles.

• Le produit cartésien de E par F est l'ensemble des couples (a;b) où a∈E et b∈F, il est noté E×F.
• Le produit cartésien de E×F×G est l'ensemble des triplets (a;b;c) où a∈E, b∈F et c∈G,.
• Le produit cartésien de E₁×E₂×...×E_p de p ensembles E₁, E₂,...,E_p est l'ensemble des p-upets (a₁, a₂,...,a_p) où a₁∈E₁, a₂∈E₂,...,a_p∈E_p.

Commentaires

Notation : E×E×...×E (il y a k fois E)= E^k.

Si E={A;B} et F={1;2;3}.

• E×F={(A;1);(A;2);(A;3);(B;1);(B;2);(B;3)}.
• F×E={(1;A);(2;A);(3;A);(1;B);(2;B);(3;B)}.
• E×E×E={(A;A;A);(B;A;A);(A;B;A);(A;A;B);(A;B;B);(B;A;B);(B;B;A);(B;B;B)}.
• (1;1;1;1;1;1;1) est un 7-uplets de F⁷.

Propriété

• Si E₁, E₂,...,E_p sont p ensembles finis, alors :
  card(E₁×E₂×...×E_p)=card(E₁)×card(E₂)×...×card(E_p).
• Si E est un ensemble avec card(E)=n et si k un entier naturel non nul, alors card(E^k)=n^k.

Exemples

Si E={A;B} et F={1;2;3}.

• card(E×F)=2×3=6.
• card(E×E×E)=2×2×2=2³=8.
• card(F⁷)=3⁷.

Cas particulier : Nombre des parties d’un ensemble à n éléments

Définition

L'ensemble vide noté ∅ est un ensemble contenant 0 élément.

Soit E un ensemble de n éléments et F={0;1}.

Pour dénombrer les parties de E, on remarque que chaque partie A de E peut s'écrire comme un n-uplet composé de 0 et de 1 en respectant la règle suivante si le kième élément de E appartient à A alors la kième valeur du n-uplet sera 1 sinon 0.

Ainsi le nombre des parties de E sera card(Fⁿ)=2ⁿ.

Remarque : on peut faire un raisonnement analogue avec un schéma de Bernoulli (cf arbre).

Remarque : L'ensemble vide est toujours une partie de E. Attention à ne pas l'oublier.

Définir les arrangements et les permutations

Définition

Soit n un entier naturel, on appelle factorielle n et on note n! :

• si n=0 alots 0!=1
• sinon n! est le produit de tous les entiers de 1 à n. Soit n!=n×(n-1)×...×2×1.

Exemple

• 2!=2
• 4!=24
• 80!>10¹¹⁸

Définition

Un arrangement de p éléments d'un ensemble E de n éléments avec n≥p est un p-uplet d'éléments distincts de E.

Commentaires

LES ARRANGEMENTS TIENNENT COMPTE DE L'ORDRE.

Soit E={1;2;3;4;5;6}.

• (1;5) est un arrangement de 2 éléments de E et (5;1) est un autre arrangement de 2 éléments de E.
• (1;5;3;2) est un arrangement de 4 éléments de E.
• (1;5;3;1) n'est pas un arrangement de 4 éléments de E, car il y a 2 fois "1".

Propriété

Le nombre d'arrangements de p éléments d'un ensemble E de n éléments avec n≥p est \(\cfrac{n!}{(n-p)!}=n\times (n-1)\times ...\times(n-p+1)\).
(il y a p facteurs dans le produit)

Exemples

• Le nombre d'arrangements de 2 éléments d'un ensemble de 11 éléments est 11×10=110.
• Lors de la finale du 100m il y a 8 athlètes au départ, combien y a-t-il de podiums possibles ?
  Un podium tient compte de l'ordre d'arrivée, donc le nombre de podiums est le nombre d'arrangements de 3 éléments d'un ensemble de 8 éléments.
  soit 8×7×6=336 podiums

Définition

Une permutation d'un ensemble E de n éléments est un arrangement de n éléments de E.

Commentaires

LES PERMUTATIONS TIENNENT COMPTE DE L'ORDRE.

Soit E={1;2;3}.

• (1;2;3) est une permutation de E.
• (1;3;2) est une permutation de E.
• (1;3;1) n'est pas une permutation de E, car il y a 2 fois "1".

Propriété

Le nombre de permutations d'un ensemble E de n éléments est n!.

Exemples

• Le nombre de permutations d'un ensemble de 3 éléments est 3!=6.
• Lors de la finale du 100m il y a 8 athlètes au départ, combien y a-t-il de classements possibles ?
  Un classement est une permutation des 8 athlètes, donc le nombre de classements est 8!

Définir les combinaisons

Définition

Une combinaison de p éléments d'un ensemble E de n éléments avec n≥p est un sous-ensemble de E possédant p éléments.

Commentaires

LES COMBINAISONS NE TIENNENT PAS COMPTE DE L'ORDRE.

Soit E={1;2;3;4;5;6}.

• {1;5} est une combinaison de 2 éléments de E et {5;1} est la même combinaison que {1;5}.
• {1;5;3;2} est une combinaison de 4 éléments de E.
• (1;5;3;1) n'est pas une combinaison de 4 éléments de E, car il y a 2 fois "1".

Propriété

• Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble E de n éléments avec n≥p noté \( \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} \) est :
  \(\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}=\cfrac{n!}{(n-p)!p!}=\cfrac{n\times (n-1)\times ...\times(n-p+1)}{p!}\).
• \( \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} \) est appelé coefficient binomiaux et se lit "p parmi n" déjà vu dans le chapitre sur la loi binomiale.
• Le nombre des parties de E est $$ \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 2^n $$

Commentaires

Rappel des propriétés vu avec la loi binomiale.

Bilan : carte mentale