Le codage base64, utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.
On s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64. Par exemple, "gP3g" est une telle séquence. Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte : les séquences "m5C2" et "5C2m" ne sont pas identiques.
1. Déterminer le nombre de séquences possibles.
2. Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.
3. Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule.
4. En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.
5. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.
6. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.
Corrigé de l'exercice 11. Pour chaque caractère, il y a 64 possibilités, donc pour une séquences de 4 caractères, il y a \(64^4\) possibilités, soit 16 777 216 possibilités.
2. Si les caractères sont différents deux à deux, il s’agit alors d’un arrangement de 4 caractères parmi 64 :\(\cfrac{64!}{(64-4)!}=64×63×62×61 = 15249024\) possibilités.
3. On reprend la question 1. avec seulement 63 caractères. cela donne donc \(63^4= 15752961\) possibilités.
4. L'événement contraire de l’évènement : « la séquence ne comporte pas la lettre A » est « la séquence comporte au moins une fois la lettre A ».
Ainsi le nombre de possibilités pour que la séquence comporte au moins une fois la lettre A est \(64^4-63^4 = 1024255\).
Conclusion : Il y a donc 1 024 255 séquences contenant au moins une fois la lettre A.
5. La lettre A peut se situer dans l’une des quatre positions dans le code, les trois autres caractères doivent être choisi dans les 63 autres que A.
Conclusion : Il y aura donc \(4×63^3 = 1000188\) possibilités.
6. Il y a \({ 4 \choose 2 }\) façons de placer les deux A dans une séquence de 4 caractères et les deux autres caractères doivent être choisi dans les 63 autres que A.
Conclusion : Il y aura donc \({ 4 \choose 2 }\times63^2 = 23814\) possibilités.
Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire successivement et sans remise p boules.
1. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2. Combien y a-t-il de tirages possibles sans la boule numéro 1 ?
3. Combien y a-t-il de tirages possibles avec la boule numéro 1?
Corrigé de l'exercice 2
Une classe de n élèves est composée de k filles et de n garçons.
Le professeur décide de faire des groupes de k élèves.
1. Combien peut-il faire de groupes ?
2. Combien peut-il faire de groupes uniquement de filles ? de garçons ?
3. Combien peut-il faire de groupes avec autant de filles que de garçons ?
Corrigé de l'exercice 3