Les exercices types

Pour chaque exercice, on munit l'espace d'un repère orthonormé \( (O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k}) \).

Exercice 1 : Donner une représentation paramétrique d'une droite

Donner une représentation paramétrique de la droite (AB) avec =0

Exercice 2 : Vérifier qu'un point est sur une droite

Soit (d) la droite de l'espace dont une représentation paramétrique est :

1. Le point M appartient-il à la droite (d) ?

2. Soient les points , montrer que (AB)=(d).

Exercice 3 : Vérifier qu'un vecteur est un vecteur directeur d'une droite

Soit la droite d de représentation paramétrique :

\( \begin{cases} x=-3+4t \\ y=2-2t \\ z=6t \end{cases} ,t\in \mathbb{R}\)

\(\vec{u}(2;-1;3) \) est-il un vecteur directeur de d ?

Exercice 4 : Position relative de deux droites

Soient les droites d et d' de représentations paramétriques respectives :

\( \begin{cases} x=-3+4t \\ y=2-2t \\ z=6t \end{cases} ,t\in \mathbb{R}\)

Les droites d et d' sont-elles confondues, strictement parallèles, sécantes ou non-coplanaires ?

Exercice 5 : Vérifier qu'un point appartient à un plan

Soient trois points de l'espace A(), B() et C().

1. Montrer que les points A, B et C définissent un plan. En déduire un représentation paramétrique du plan (ABC).

2. Le point D() appartient-il au plan (ABC) ?

Exercice 6 : Vérifier si trois vecteurs sont coplanaires

Soient trois vecteurs de l'espace \(\vec{u}\)(), \(\vec{v}\)() et \(\vec{w}\)().

Les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont-ils coplanaires ?