1. Ensemble de points

Transformation de l'expression \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}\)

Propriété

Soient deux points distincts \(A\) et \(B\) du plan et \(I\) le milieu du segment \([AB]\).
Pour tout point \(M\) du plan, on a :

\(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2-\cfrac{1}{4}AB^2\).

Démonstration à connaitre

commentaires

Exemple: vous pouvez déplacer les points rouges. \(\color{aqua}{\overrightarrow{MA}}\color{black}{.}\color{blue}{\overrightarrow{MB}}\color{black}{=}\color{orange}{MI}\color{black}{^2-\cfrac{1}{4}}\color{red}{AB}\color{black}{^2}\)

Ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\)

Propriété

Soient deux points distincts A et B du plan et I le milieu de [AB].
L'ensemble des points M du plan tels que \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\) est le cercle de diamètre [AB].

Démonstration

\(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0 \Leftrightarrow MI^2-\cfrac{1}{4}AB^2=0 \Leftrightarrow MI^2=\cfrac{AB^2}{4} \Leftrightarrow MI=\cfrac{AB}{2}\)

Donc \(M\) appartient au cercle de centre \(I\) et de rayon \(\cfrac{AB}{2}\), c'est à dire le cercle de diamètre \([AB]\).

Théorème de la médiane

Théorème

Soit ABM un triangle et I le milieu de [AB].
On a alors : \(MA^2+MB^2=2MI^2+\cfrac{AB^2}{2}\).

2. Formules de Al-Kashi

Propriété

Soient ABC un triangle, on a :

BC² = AB² + AC² -2×AB×AC×cos(Â)
En posant a= BC, b= AC et c= AB:

• a² = b² + c² - 2bc×cos(\(\widehat{A}\))
• b² = a² + c² - 2ac×cos(\(\widehat{B}\))
• c² = a² + b² - 2bb×cos(\(\widehat{C}\))

Démonstration à connaitre

commentaires

On utilise les formules d'Al-Kashi :

• pour caluler une longueur, connaissant deux côtés et un angle.
• pour caluler des angles, connaissant les trois côtés.

3. Formules des sinus

Propriété

Soient ABC un triangle, on a :


En posant a= BC, b= AC et c= AB:

\(\cfrac{\color{green}{a}}{sin(\color{green}{\widehat{A}}\color{black}{)}}=\cfrac{\color{blue}{b}}{sin(\color{blue}{\widehat{B}}\color{black}{)}}=\cfrac{\color{red}{c}}{sin(\color{red}{\widehat{C}}\color{black}{)}}\)

commentaires

On utilise la formule des sinus :

• pour caluler une longueur, connaissant deux angles et un côté.