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Produit scalaire

Produit scalaire dans le plan

1. Norme d'un vecteur

Définition

On donne un vecteur \(\vec{u}\) du plan et deux points \(A\) et \(B\) tels que \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\).
La norme du vecteur \(\vec{u}\), notée \(\left\|\vec{u}\right\|\), est la distance \(AB\).


Propriété

Dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\), si \( \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \), alors \(\left\|\vec{u}\right\|=\sqrt{x^2+y^2}\).


2. Définitions du produit scalaire

Produit scalaire et projeté orthogonal

Définition

Soient A, B et C trois points distincts du plan et H le projeté orthogonal de C sur (AB).
Le produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), noté \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\) est défini :
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= \begin{cases} AB\times AH, & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AH} \text{ sont de même sens}\\ -AB\times AH, & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AH} \text{ sont de sens contraire} \end{cases}\)

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Produit scalaire et angle

Définition

Pour deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), le produit scalaire des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le nombre réel noté \(\vec{u}.\vec{v}\) défini de la manière suivante :

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Propriété

Le produit scalaire est symétrique
Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), \(\vec{u}.\vec{v}=(\vec{v}.\vec{u})\).

commentaires

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}= AC\times AB \times cos(\widehat{CAB})=AB\times AC \times cos(\widehat{BAC})=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)

3. Orthogonalité et produit scalaire

Définition

On dit que deux vecteurs non nuls \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{CD}\) sont othogonaux lorsque les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont perpendiculaires.
Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.


Propriété fondamentale

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan :
\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si, et seulement si \(\vec{u}.\vec{v}=0\).

Commentaire

Pour montrer que les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont perpendiculaires, une méthode consiste à montrer que \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0\).

Propriétés du produit scalaire

1. Produit scalaire et normes

Propriété

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan :


Démonstration à connaitre

Commentaire

Soient A, B et C trois points du plan, on a :\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\cfrac{1}{2}(AB^2+AC^2-BC^2)\).

2. Produit scalaire dans un repère orthonormé

Propriété très importante

Dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\), pour tous vecteurs \( \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \), on a :

\(\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'\).

Commentaire

3. Bilinéarité du produit scalaire

Propriétés

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\),\(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) du plan et pour tout réel \(k\),


Définition

On appelle carré scalaire de \(\vec{u}\) le produit scalaire \(\vec{u}.\vec{u}\). On le note \(\vec{u}^2\), ainsi \(\vec{u}^2=\vec{u}.\vec{u}=\left\|\vec{u}\right\|^2\)

Commentaire

En particulier, \(\overrightarrow{AB}^2=AB^2\).
Théorème

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan, on a les identités remarquables :