On donne un vecteur \(\vec{u}\) du plan et deux points \(A\) et \(B\) tels que \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\).
La norme du vecteur \(\vec{u}\), notée \(\left\|\vec{u}\right\|\), est la distance \(AB\).

Dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\), si \( \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \), alors \(\left\|\vec{u}\right\|=\sqrt{x^2+y^2}\).

Soient A, B et C trois points distincts du plan et H le projeté orthogonal de C sur (AB).
Le produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), noté \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\) est défini :
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= \begin{cases} AB\times AH, & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AH} \text{ sont de même sens}\\ -AB\times AH, & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AH} \text{ sont de sens contraire} \end{cases}\)

Pour deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), le produit scalaire des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le nombre réel noté \(\vec{u}.\vec{v}\) défini de la manière suivante :

• si \(\vec{u}\) ou \(\vec{v}\) est nul, alors \(\vec{u}.\vec{v}=0\) ;
• sinon \(\vec{u}.\vec{v}= \left\|\vec{u}\right\|\times \left\|\vec{v}\right\| \times cos(\theta)\) où \(\theta\) est l'angle \(\widehat{BAC}\) tel que \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}\).

Le produit scalaire est symétrique
Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), \(\vec{u}.\vec{v}=(\vec{v}.\vec{u})\).

On dit que deux vecteurs non nuls \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{CD}\) sont orthogonaux lorsque les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont perpendiculaires.
Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan :
\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si, et seulement si \(\vec{u}.\vec{v}=0\).

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan :

• \(\vec{u}.\vec{v}=\cfrac{1}{2} \biggl(\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2- \left\|\vec{u}\right\|^2- \left\|\vec{v}\right\|^2\biggl)\) ;
• \(\vec{u}.\vec{v}=\cfrac{1}{2} \biggl(\left\|\vec{u}\right\|^2+ \left\|\vec{v}\right\|^2- \left\|\vec{u}-\vec{v}\right\|^2\biggl)\).

Dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\), pour tous vecteurs \( \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \), on a :

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\),\(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) du plan et pour tout réel \(k\),

• \(\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}\) ;
• \((\vec{u}+\vec{v}).\vec{w}=\vec{u}.\vec{w}+\vec{v}.\vec{w}\) ;
• \(\vec{u}.(k\vec{u})=(k\vec{u}).\vec{v}=k(\vec{u}.\vec{v})\)

On appelle carré scalaire de \(\vec{u}\) le produit scalaire \(\vec{u}.\vec{u}\). On le note \(\vec{u}^2\), ainsi \(\vec{u}^2=\vec{u}.\vec{u}=\left\|\vec{u}\right\|^2\)

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan, on a les identités remarquables :

• \((\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2\) soit \(\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2 = \left\|\vec{u}\right\|^2+2\vec{u}.\vec{v}+ \left\|\vec{v}\right\|^2\) ;
• \((\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2\) soit \(\left\|\vec{u}-\vec{v}\right\|^2 = \left\|\vec{u}\right\|^2-2\vec{u}.\vec{v}+ \left\|\vec{v}\right\|^2\) ;
• \((\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2 = \left\|\vec{u}\right\|^2- \left\|\vec{v}\right\|^2\).