1. Equations cartésiennes de droites

a. Rappels

Définition

Toute droite admet une équation cartésiennne de la forme \(ax+by+c=0\) avec \(a\) et \(b\) réels non simultanément nuls et \(c\) réel quelconque.

Démonstration à connaitre

commentaires

Une droite admet une infinité d'équations cartésiennes, en effet, pour tout réel \(k\) non nul, l'équation \((ka)x+(kb)y+(kc)=0\) définit aussi la droite d'équation \(ax+by+c=0\).

b. Vecteur directeur d'une droite

Propriété

Une droite \(d\) d'équation cartésienne \(ax+by+c=0\) (avec \((a;b)\neq (0;0)\)) a pour vecteur directeur \( \vec{u} \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \).

c. Vecteur normal à une droite

Définition

On appelle vecteur normal à une droite \(d\) tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de \(d\).

illustration

Propriété

Une droite \(d\) d'équation cartésienne \(ax+by+c=0\) (avec \((a;b)\neq (0;0)\)) admet le vecteur \( \vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \) comme vecteur normal.

commentaires

\( \vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \) étant un vecteur normal à \(d\), tout vecteur non nul colinéaire à \(\vec{n}\) est aussi un vecteur normal à la droite \(d\).
Un vecteur normal à la droite \(d\) est un vecteur directeur de toute droite Δ perpendiculaire à \(d\).

2. Equations cartésiennes de cercles

a. Cercle défini par son centre et son rayon

Propriété

Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r est l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que ΩM²=r².

Il a pour équation : (x - a)² +(y - b)² = r².

exemples

Coordonnées de Ω centre du cercle
x_Ω = -2 y_Ω = 2
Rayon r du cercle
r_Ω = 3
Equation du cercle du cercle

En développant,

b. Cercle défini par un diamètre

Propriété

Soient deux points distincts A et B du plan et I le milieu de [AB].
L'ensemble des points M du plan tels que \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\) est le cercle de diamètre [AB].

commentaire

Dans ce cas, l'équation est : (x - x_A)(x - x_B)+(y - y_A)(y - y_B) = 0.

c. Equations \(x^2+y^2+ax+by+c=0\)

Propriété

Tout cercle dans le plan admet une équation de la forme \(x^2+y^2+ax+by+c=0\).
Par contre la réciproque est fausse, l'ensemble des points \(M(x;y)\) vérifiant \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) n'est pas forcément un cercle.

commentaire

\(x^2+y^2+1=0\) n'est pas l'équation d'un cercle. En effet, \(x^2+y^2+1 >0\) donc il n'existe aucun point \(M(x;y)\) vérifiant cette équation.
Pour vérifier si \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) est l'équation d'un cercle, on utilise la forme canonique (avec les \(x\) et les \(y\)).