Cette propriété est énoncée de la façon suivante dans le cours :
Nous allons utiliser les définitions du cours (Généralités) :
Il faut donc comparer f(a) et f(b), pour cela on va étudier le signe de f(b)-(a).
Montrons que la fonction carré est décroissante sur ]-∞ ; 0]
Soient a et b appartenant à ]-∞ ; 0], tels que a < b, soit a < 0, b ≤ 0 et b - a > 0
f(b)-f(a)= b2 - a2 = (b + a)( b - a).
Or a < 0, b ≤ 0, donc a + b < 0.
Donc le produit (b + a)( b - a) < 0, donc b2 - a2 < 0; soit a2 > b2.
Conclusion : a < b ⇒ a2 > b2, donc la fonction carré est décroissante sur ]-∞ ; 0].
Montrons que la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[
Soient a et b appartenant à [0 ; +∞[, tels que a < b, soit a ≥ 0, b > 0 et b - a > 0
f(b)-f(a)= b2 - a2 = (b + a)( b - a).
Or a ≥ 0, b > 0, donc a + b > 0.
Donc le produit (b + a)( b - a) > 0, donc b2 - a2 > 0; soit a2 < b2.
Conclusion : a < b ⇒ a2 < b2, donc la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[.