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Généralités

Définition et vocabulaire

Définitions

Soit D un intervalle ou une réunion d'intervalles de ℝ.
On appelle fonction à valeurs réelles f définie dur D un procédé qui à tout réel x de D associe un unique réel noté f(x).
D est appelé l'ensemble de définition de la fonction f.
Pour un nombre a de D, si f(a)=b, on dit que :

Commentaires

b = 1

Représentation graphique d'une fonction

Définitions

Dans un repère du plan, on appelle courbe représentative ou représentation graphique de la fonction f, notée Cf l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) qui vérifient :

x∈D et y = f(x).

La relation y = f(x) est appelée équation de la courbe Cf.

Avec la numworks

Avec la

Parité d'une fonction

Définition

On considère une fonction f définie sur l'ensemble D.
On dit que f est paire si :


Propriété

On considère une fonction f définie sur l'ensemble D.
Si f est paire, alors sa courbe représentative Cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple

x = 2.0
Définition

On considère une fonction f définie sur l'ensemble D.
On dit que f est impaire si :


Propriété

On considère une fonction f définie sur l'ensemble D.
Si f est impaire, alors sa courbe représentative Cf est symétrique par rapport à O l'origine du repère.

Exemple

x = 4.0

Résolution graphique d'équations et d'inéquations

Théorème

Soit Cf la courbe représentative d'une fonction f définie sur un ensemble D dans un repère donné.
Pour tout réel k, les solutions dans D de l'équation f(x)=k sont les abscisses des points d'intersection de Cf et de la droite d'équation y=k.


Théorème

Soit Cf la courbe représentative d'une fonction f définie sur un ensemble D dans un repère donné.
Pour tout réel k, les solutions dans D de l'inéquation f(x)<k sont les abscisses des points de Cf situés strictement en dessous de la droite d'équation y=k.


Exemple

k = 1
Théorème

Soient Cf et Cg les courbes représentatives de deux fonctions f et g dans un même repère.
Les solutions de l'équation f(x)=g(x) sont les abscisses des points d'intersection de Cf et Cg.


Théorème

Soient Cf et Cg les courbes représentatives de deux fonctions f et g dans un même repère.
Les solutions de l'inéquation f(x)<g(x) sont les abscisses des points de Cf situés strictement en dessous de Cg.


Variations et extremums d'une fonction

Définition

La fonction f est strictement croissante sur un intervalle I lorsque pour tous nombres a et b de I :

si a<b, alors f(a)<f(b).


Définition

La fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I lorsque pour tous nombres a et b de I :

si a<b, alors f(a)>f(b).


Définition

La fonction f est strictement constante sur un intervalle I lorsque pour tous nombres a et b de I :

si a<b, alors f(a)=f(b).

Commentaires

Etudier les variations d'une fonction revient à rechercher les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante. On résume les variations d'une fonction dans un tableau de variation avec les règles suivantes :
Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un réel de l'intervalle I. On dit que :


Exemple

Le tableau de variations

x -7,5 -3 4 8,5
f(x) -7 2 -3,1 6

Les extremums

Cette fonction admet un maximum en -3 sur [-7;0]

Cette fonction admet un minimum en 4 sur [0;8]

Variation des fonctions affines

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle I, et soient \(a\) et \(b\) deux réels de l'intervalle I tels que \(a\lt b\). On appelle taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) le nombre \(t\) défini par :

\(t=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

Commentaires

Propriétés

Soient m et p deux réels et f la fonction affine définie par f(x)=mx+p sur ℝ.
Le taux d'accroissement de f entre \(a\) et \(b\) est égal à m le coefficient directeur.
D'où les conséquences :

Démonstration

Soient \(a\) et \(b\) deux réel tels que \(a\lt b\).
\(t=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\cfrac{(mb+p)-(ma+p)}{b-a}=\cfrac{mb-ma}{b-a}=\cfrac{m(b-a)}{b-a}=m \text{, car }b-a\neq 0\)