Cette propriété est énoncée de la façon suivante dans le cours :
Nous allons utiliser la propriété qui dit qu'un vecteur directeur d'une droite est colinéaire à tout vecteur \(\overrightarrow{AM}\) (où A et M sont des points de la droite).
A l'aide du déterminant on trouvera une relation qui sera l'équation cartésienne de la droite.
Soit \(A(x_A;y_A)\) un point de la droite \(d\) et \( \vec{u} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \) un vecteur directeur de \(d\).
\(M(x;y) \in d \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x-x_A \\ y-y_A \end{pmatrix} \) et \( \vec{u} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \) sont colinéaires.
\(\Leftrightarrow dét(\overrightarrow{AM},\vec{u})=0\)
\(\Leftrightarrow \beta(x-x_A)-\alpha(y-y_A)=0\)
\(\Leftrightarrow \beta x-\alpha y +(\alpha y_A-\beta x_A)=0\)
On obtient bien une équation de la forme \(ax+by+c=0\) avec \(a=\beta, b=-\alpha\) et \(c=\alpha y_A-\beta x_A\), et on a \((\beta;-\alpha)\neq (0;0)\) car \(\vec{u}\neq \vec{0}\).