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Les droites

Vecteur directeur d'une droite

Définition

On considère une droite d et deux points distincts A et B de d.
On appelle vecteur directeur de la droite d tout vecteur \(\vec{u}\) non nul, colinéaire au vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

Exemple

Vous pouvez déplacer les points A et B.

Le vecteur directeur de la droite (AB)

Le vecteur \(\vec{u}\) (en rouge) est un vecteur directeur de la droite (AB).

Commentaires

Propriété

Une droite d peut être définie par la donnée d'un point A et d'un vecteur \(\vec{u}\). On a alors :

M ∈ d ⇔ \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires.

Equation cartésienne d'une droite

Propriété

Dans un repère du plan, les coordonnées \((x;y)\) de tous les points \(M\) d'une droite \(d\) vérifient une équation de la forme :

\(ax+by+c=0\)

où \(a,b\) et \(c\) sont des nombres réels tels que \(a\) et \(b\) ne sont pas simultanément nuls.
Une telle équation s'appelle une équation cartésienne de la droite \(d\).

Démonstration à connaitre

Commentaires

Propriété

Soient d et d' deux droites d'équations cartésiennes respectives \(ax+by+c=0\) avec (\(a;b)\neq (0;0)\) et \(a'x+b'y+c'=0\) avec (\(a';b')\neq (0;0)\).
Les droites d et d' sont parallèles si et seulement si \(det \Biggl(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a' \\ b' \end{pmatrix}\Biggr)\) = \( \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix}=ab'-ba'=0\).
Les coefficients \((a;b)\) et \((a';b')\) sont alors proportionnels.

Equation réduite d'une droite

Droite verticale

Propriété

Soit d une droite d'équation cartésienne \(ax+by+c=0\) avec \((a;b)\neq (0;0)\).
Si \(b=0\) alors la droite d est verticale, parallèle à l'axe des ordonnées et admet une équation réduite de la forme : \(x=k\) où \(k\)∈ℝ.

Exemple

Soient A(2 ; 5) et B(2 ; 3). Donner l'équation réduite de la droite (AB).
xA = xB = 2, donc la droite (AB) est verticale.
Donc l'équation réduite de (AB) est \(x=2\).

Droite non verticale

Propriété

Soit d une droite d'équation cartésienne \(ax+by+c=0\) avec \(b\neq 0\).
La droite d admet une unique équation réduite de la forme : \(y=mx+p\) où \(m\) et \(p\) sont des réels.

Commentaires

Théorème

Soient deux points \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\).
Si \(x_A\neq x_B\) alors la droite \((AB)\) admet une équation réduite de la forme \(y=mx+p\) avec

Exemple

Soient A(3 ; 5) et B(1 ; 1). Donner l'équation réduite de la droite (AB).
\(x_A\neq x_B\) donc la droite \((AB)\) admet une équation réduite de la forme \(y=mx+p\) avec Donc l'équation réduite de (AB) est \(y=2x-1\).
Propriété

Si d une droite non verticale de vecteur directeur \( \vec{u} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \), alors la pente \(m\) de la droite d est \(m=\cfrac{b}{a}\).


Propriété

Soient d et d' deux droites d'équations réduites respectives \(y=mx+p\) et \(y=m'x+p'\).
Les droites d et d' sont parallèles si et seulement si \(m=m'\).

Système de deux équations à deux inconnues

Définition

Un système linéaire de deux équations à deux inconnues \(x\) et \(y\) est un système qui peut s'écrire sous la forme : $$\begin{cases}ax+by=c \\ a'x+b'y=c'\end{cases}$$ où \(a,b,c,a',b',\) et \(c'\) sont des nombres réels fixés avec (\(a;b)\neq (0;0)\) et (\(a';b')\neq (0;0)\).
Une solution de ce système est un couple \((x;y)\) de nombres réels tel que \(x\) et \(y\) vérifient simultanément les deux équations.

Commentaire

Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues, c'est déterminer tous les couples \((x;y)\) solutions de ce système.

Interprétation graphique d'un couple solution

Un système linéaire de deux équations à deux inconnues peut s'écrire : $$\begin{cases}ax+by-c=0 \\ a'x+b'y-c'=0\end{cases}$$ Du fait que (\(a;b)\neq (0;0)\) et (\(a';b')\neq (0;0)\), ces deux équations correspondent à des équations cartésiennes de deux droites d et d'.
Les droites d et d' sont sécantes si et seulement si : $$ ab'-ba'\neq 0.$$ Dans ce cas, elles ont un unique point d'intersection.

Définition

On considère un système linéaire : $$\begin{cases}ax+by=c \\ a'x+b'y=c'\end{cases}$$ avec (\(a;b)\neq (0;0)\) et (\(a';b')\neq (0;0)\).
Ce système admet un unique couple solution si et seulement si on a : $$ ab'-ba'\neq 0.$$ Ce couple \((x;y)\) correspond aux coordonnées du point d'intersection des deux droites associées aux équations du système.

Méthodes de résolution d'un système

Méthode par combinaisons linéaires

Commentaires

Pensez à vérifier la solution avec votre calculatrice.

Avec la numworks

Avec la

Méthode par substitution