Les droites

Vecteur directeur d'une droite

Définition

On considère une droite d et deux points distincts A et B de d.
On appelle vecteur directeur de la droite d tout vecteur $\vec{u}$ non nul, colinéaire au vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Exemple

Vous pouvez déplacer les points A et B.

Le vecteur directeur de la droite (AB)

Le vecteur $\vec{u}$ (en rouge) est un vecteur directeur de la droite (AB).

Commentaires

On dit que le vecteur $\vec{u}$ "dirige" la droite d.
La direction du vecteur directeur $\vec{u}$ définit la direction de la droite d.
Deux vecteurs directeurs de d sont colinéaires.
Deux droites parallèles ont la même direction, ainsi tout vecteur directeur de l'une est vecteur directeur de l'autre.
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est toujours un vecteur directeur de la droite (AB).
Vous pouvez déplacer les points A et B.

Les coordonnées d'un vecteur directeur
$\overrightarrow{AB}$

Propriété

Une droite d peut être définie par la donnée d'un point A et d'un vecteur $\vec{u}$. On a alors :

M ∈ d ⇔ $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.

Equation cartésienne d'une droite

Propriété

Dans un repère du plan, les coordonnées $(x;y)$ de tous les points $M$ d'une droite $d$ vérifient une équation de la forme :

$ax+by+c=0$
où $a,b$ et $c$ sont des nombres réels tels que $a$ et $b$ ne sont pas simultanément nuls.
Une telle équation s'appelle une équation cartésienne de la droite $d$.

Démonstration à connaitre

Commentaires

Réciproquement, l'ensemble des points de coordonnées $(x;y)$ vérifient une équation de la forme $ax+by+c=0$ (avec $(a;b)\neq (0;0)$) est une droite de vecteur directeur $ \vec{u} \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} $.
Une droite $d$ admet une infinité d'équations cartésiennes dont les coefficients sont deux à deux proportionnels.

Propriété

Soient d et d' deux droites d'équations cartésiennes respectives $ax+by+c=0$ avec ($a;b)\neq (0;0)$ et $a'x+b'y+c'=0$ avec ($a';b')\neq (0;0)$.
Les droites d et d' sont parallèles si et seulement si $det \Biggl(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a' \\ b' \end{pmatrix}\Biggr)$ = $ \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix}=ab'-ba'=0$.
Les coefficients $(a;b)$ et $(a';b')$ sont alors proportionnels.

Equation réduite d'une droite

Droite verticale

Propriété

Soit d une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ avec $(a;b)\neq (0;0)$.
Si $b=0$ alors la droite d est verticale, parallèle à l'axe des ordonnées et admet une équation réduite de la forme : $x=k$ où $k$∈ℝ.

Exemple

Soient A(2 ; 5) et B(2 ; 3). Donner l'équation réduite de la droite (AB).

x_A = x_B = 2, donc la droite (AB) est verticale.
Donc l'équation réduite de (AB) est $x=2$.

Droite non verticale

Propriété

Soit d une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ avec $b\neq 0$.
La droite d admet une unique équation réduite de la forme : $y=mx+p$ où $m$ et $p$ sont des réels.

$m$ est la pente ou le coefficient directeur de la droite d.
$p$ est l'ordonnée à l'origine de la droite d.

Commentaires

Un vecteur directeur de la droite d est $ \vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} $.
La droite d coupe l'axe des ordonnées au point P(0 ; $p$).

Vous pouvez modifier les valeurs de m et p.

L'équation réduite

La pente
Un vecteur directeur : $\vec{u}$
L'ordonnée à l'origine
Un point de la droite : P(0 ; )

Théorème

Soient deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$.
Si $x_A\neq x_B$ alors la droite $(AB)$ admet une équation réduite de la forme $y=mx+p$ avec

$m=\cfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
$p=y_A-m\times x_A$.

Exemple

Soient A(3 ; 5) et B(1 ; 1). Donner l'équation réduite de la droite (AB).

$x_A\neq x_B$ donc la droite $(AB)$ admet une équation réduite de la forme $y=mx+p$ avec

$m=\cfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\cfrac{1-5}{1-3}=2$.
$p=y_A-m\times x_A=5-2\times 3=-1$.
Donc l'équation réduite de (AB) est $y=2x-1$.

Propriété

Si d une droite non verticale de vecteur directeur $ \vec{u} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $, alors la pente $m$ de la droite d est $m=\cfrac{b}{a}$.

Propriété

Soient d et d' deux droites d'équations réduites respectives $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$.
Les droites d et d' sont parallèles si et seulement si $m=m'$.

Système de deux équations à deux inconnues

Définition

Un système linéaire de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ est un système qui peut s'écrire sous la forme : $$\begin{cases}ax+by=c \\ a'x+b'y=c'\end{cases}$$ où $a,b,c,a',b',$ et $c'$ sont des nombres réels fixés avec ($a;b)\neq (0;0)$ et ($a';b')\neq (0;0)$.
Une solution de ce système est un couple $(x;y)$ de nombres réels tel que $x$ et $y$ vérifient simultanément les deux équations.

Commentaire

Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues, c'est déterminer tous les couples $(x;y)$ solutions de ce système.

Interprétation graphique d'un couple solution

Un système linéaire de deux équations à deux inconnues peut s'écrire : $$\begin{cases}ax+by-c=0 \\ a'x+b'y-c'=0\end{cases}$$ Du fait que ($a;b)\neq (0;0)$ et ($a';b')\neq (0;0)$, ces deux équations correspondent à des équations cartésiennes de deux droites d et d'.
Les droites d et d' sont sécantes si et seulement si : $$ ab'-ba'\neq 0.$$ Dans ce cas, elles ont un unique point d'intersection.

Définition

On considère un système linéaire : $$\begin{cases}ax+by=c \\ a'x+b'y=c'\end{cases}$$ avec ($a;b)\neq (0;0)$ et ($a';b')\neq (0;0)$.
Ce système admet un unique couple solution si et seulement si on a : $$ ab'-ba'\neq 0.$$ Ce couple $(x;y)$ correspond aux coordonnées du point d'intersection des deux droites associées aux équations du système.

Méthodes de résolution d'un système

Méthode par combinaisons linéaires

Commentaires

Pensez à vérifier la solution avec votre calculatrice.
Avec la numworks
Avec la

Méthode par substitution

On exprime une des inconnues en fonction de l'autre dans une équation.
On substitue dans l'autre équation l'inconnue par son expression, on obtient alors une équation à une seule inconnue.
On résout cette dernière équation pour trouver une inconnue.
On déduit ensuite l'autre inconnue.