Géométrie dans un repère

Géométrie dans un repère : Démonstrations à connaitre

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

Cette propriété est énoncée de la façon suivante dans le cours :

Propriété

On considère deux vecteurs \( \overrightarrow{u}\) et \( \overrightarrow{v}\) dans un repère orthonormé (O; \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\)).
Les vecteurs \( \overrightarrow{u}\) et \( \overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement si det(\(\overrightarrow{u}\),\(\overrightarrow{v}\)) = 0.

Stratégie de la démonstration

Nous allons d'abord démontrer que si les 2 vecteurs sont colinéaires alors leur déterminant est nul, puis réciproquement on montre que si le déterminant de deux vecteurs est nul alors ces vecteurs sont colinéaires.

On utilise les définitions suivantes :

Définition

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non nuls sont colinéaires lorsqu'il existe un réel \(k\) non nul tel que \(\vec{u}=k\vec{v}\).
"\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires" signifie donc qu'ils ont la même direction.
Le vecteur nul \(\vec{0}\) est colinéaire avec tous les vecteurs.

Définition

On considère les deux vecteurs \( \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \)dans un repère (O; \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\)).
Le déterminant de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\), noté det(\(\overrightarrow{u}\),\(\overrightarrow{v}\)) ou \( \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} \) est le nombre :

det(\(\overrightarrow{u}\),\(\overrightarrow{v}\)) = \( \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} \) = \(x\times y' - y\times x'\).

Démonstration

On suppose que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
- Si \(\vec{u}=\vec{0}\) ou \(\vec{v}=\vec{0}\), alors \(x=0,y=0\) ou \(x'=0,y'=0\) donc \(xy'-yx'=0\).
- Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont non nuls, alors il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v}=k\vec{u}\).
  
  Ainsi \(x'=kx\) et \(y'=ky\) et on en déduit que det(\(\vec{u},\vec{v}\))\(=xy'-yx'=x(ky)-y(kx)=0\).
Réciproquement, on suppose que \(xy'-yx'=0\).
- Si \(\vec{u}=\vec{0}\), alors les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
- Si \(\vec{u}\ne \vec{0}\), alors l'une au moins de ses coordonnées est non nulle, par exemple \(x\ne 0\).
  
  Donc \(y'=\cfrac{x'}{x}y\) c'est-à-dire \(y'=ky\) avec \(k=\cfrac{x'}{x}\).
  
  On a aussi \(x'=\cfrac{x'}{x}x=kx\).
  
  Ainsi \( \vec{v} \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}=k\vec{u} \),
  
  Donc les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.