le but de cet exercice est de montrer (sur des exemples) que le centre de gravité G du triangle ABC vérifie \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC}=\vec{0}\).
Premier exemple
Dans un repère orthonormé (O; \(\vec{i}, \vec{j}\)), on considère les points A(-2 ; -1), B(4 ; 1) et C(1 ; 6).
I est le milieu de [AB], J est le milieu de [AC] et K est le milieu de [BC].
1. Calculer les coordonnées du point G vérifiant \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC}=\vec{0}\). Voir l'aide
La solution
On appelle (x ; y) les coordonnées de G
On calcule les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC}\)
On en déduit x et y
masquer
2. Montrer que les points A, K et G sont alignés. Voir l'aide
La solution
On calcule les coordonnées du point K.
On calcule les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AK}\) et \(\overrightarrow{AG}\).
On montre que \(\overrightarrow{AK}\) et \(\overrightarrow{AG}\) sont colinéaires, en montrant que leur déterminant est nul.
masquer
3. Montrer que les points B, J et G sont alignés. Voir l'aide
La solution
On procède de la même façon que la question 2.
masquer
4. Conclure. Voir l'aide
La solution
(AK) et (BJ) sont deux médianes du triangle ABC.
G appartient à ces deux médianes.
Le point de concours des médianes d'un triangle est le centre de gravité du triangle.
masquer
Deuxième exemple
Reprendre l'exemple 1, avec les points A(-3 ; 4), B(3 ; 6) et C(2 ; -1).
Exemple aléatoire
Reprendre l'exemple 1, avec les points A(-3 ; 4), B(3 ; 6) et C(2 ; -1).
