Un repère orthonormé d'origine O est le triplet (O; I, J) tel que :

• le triangle OIJ est rectangle isocèle en O,
• la droite (OI) est une droite graduée d'unité OI appelée axe des abscisses,
• la droite (OJ) est une droite graduée d'unité OJ appelée axe des ordonnées.

Tout point M est repéré par un unique couple de coordonnées (x ; y) où :

• x, appelé l'abscisse de M, est le réel sur l'axe gradué des abscisses du projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses,
• y, appelé l'ordonnée de M, est le réel sur l'axe gradué des ordonnées du projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées.

(O; I, J) est un repère orthonormé, A(\(x_A\) ; \(y_A\)) et B(\(x_B\) ; \(y_B\)) sont deux points.
Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées (\(x_I\); \(y_I\)) avec \(x_I=\cfrac{x_A+x_B}{2}\) et \(y_I=\cfrac{y_A+y_B}{2}\).

Un repère orthonormé (O; I, J) est aussi noté (O; \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\)) avec \(\overrightarrow{i}=\overrightarrow{OI}\) et \(\overrightarrow{j}=\overrightarrow{OJ}\) :
On dit que (\(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\)) est une base orthonormée,

Tout point M est repéré par un unique couple de coordonnées (x ; y) tel que :

• \(\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\),
• le couple (x ; y) est aussi le couple des coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{OM}\) .

Soient \( \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \)dans un repère (O; \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\)) et \(k\) un réel.

• \( \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}\) si et seulement si \(x=x'\) et \(y=y'\).
• Le vecteur \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\) a pour coordonnées \( \begin{pmatrix} x+x' \\ y+y' \end{pmatrix} \)
• Le vecteur \(k\overrightarrow{u}\) a pour coordonnées \( \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix} \)
• \(\Vert \overrightarrow{u} \Vert=\sqrt{x^2+y^2}\)

(O; I, J) est un repère orthonormé, A(\(x_A\) ; \(y_A\)) et B(\(x_B\) ; \(y_B\)) sont deux points.
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont \( \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix} \).
La norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est \(\Vert\overrightarrow{AB}\Vert=AB= \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

On considère les deux vecteurs \( \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \)dans un repère (O; \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\)).
Le déterminant de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\), noté det(\(\overrightarrow{u}\),\(\overrightarrow{v}\)) ou \( \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} \) est le nombre :

On considère deux vecteurs \( \overrightarrow{u}\) et \( \overrightarrow{v}\) dans un repère orthonormé (O; \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\)).
Les vecteurs \( \overrightarrow{u}\) et \( \overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement si det(\(\overrightarrow{u}\),\(\overrightarrow{v}\)) = 0.