Cette propriété est énoncée de la façon suivante dans le cours :
Nous allons utiliser la définition du cours (Généralités) :
Il faut donc comparer f(a) et f(b), pour cela on va étudier le signe de f(b)-(a).
Montrons que la fonction inverse est décroissante sur ]-∞ ; 0[
Soient \(a\) et \(b\) appartenant à ]-∞ ; 0[, tels que \(a\) < \(b\), soit \(a\) < 0, \(b\) < 0 et \(a-b\) < 0
\(f(b)-f(a)=\cfrac{1}{b}-\cfrac{1}{a}=\cfrac{a-b}{ba}\)
Or \(a\) < 0, \(b\) < 0, donc \(ba\) > 0.
Donc le quotient \(\cfrac{a-b}{ba}\) < 0, donc \(\cfrac{1}{b}-\cfrac{1}{a}\) < 0; soit \(\cfrac{1}{a}\gt \cfrac{1}{b}\).
Conclusion : \(a\) < \(b\) ⇒ \(\cfrac{1}{a}\gt \cfrac{1}{b}\), donc la fonction inverse est décroissante sur ]-∞ ; 0[.
Montrons que la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[
Soient \(a\) et \(b\) appartenant à ]0 ; +∞[, tels que \(a\) < \(b\), soit \(a\) > 0, \(b\) > 0 et \(a-b\) < 0
\(f(b)-f(a)=\cfrac{1}{b}-\cfrac{1}{a}=\cfrac{a-b}{ba}\)
Or \(a\) > 0, \(b\) > 0, donc \(ba\) > 0.
Donc le quotient \(\cfrac{a-b}{ba}\) < 0, donc \(\cfrac{1}{b}-\cfrac{1}{a}\) < 0; soit \(\cfrac{1}{a}\gt \cfrac{1}{b}\).
Conclusion : \(a\) < \(b\) ⇒ \(\cfrac{1}{a}\gt \cfrac{1}{b}\), donc la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[.