Si \(f\) est définie sur ℝ par \(f(x)=ax^2+bx+c\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels avec \(a\ne 0\).
On appelle discriminant de \(f\) le nombre : \(\Delta = b^2-4ac\). ("\(\Delta\)" se lit "delta")

Pour résoudre l'équation (E): \(ax^2+bx+c=0\) avec \(a\ne 0\), on calule \(\Delta = b^2-4ac\).

• Si \(\Delta \lt 0\), l'équation (E) n'admet pas de solution dans ℝ.
• Si \(\Delta = 0\), l'équation (E) admet une seule solution : \(x_0=-\cfrac{b}{2a}\).
• Si \(\Delta \gt 0\), l'équation (E) admet deux solutions : \(x_1=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2=\cfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\).

Pour factoriser \(f(x)=ax^2+bx+c=0\) avec \(a\ne 0\), on calule \(\Delta = b^2-4ac\).

• Si \(\Delta \lt 0\), \(f(x)\) n'a pas de factorisation possible.
• Si \(\Delta = 0\), \(f(x)=a(x-x_0)^2\), où \(x_0\) est l'unique racine de \(f\).
• Si \(\Delta \gt 0\), \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\), où \(x_1\) et \(x_2\) sont les deux racines de \(f\).

Pour trouver le signe de \(f(x)=ax^2+bx+c=0\) avec \(a\ne 0\), on calcule \(\Delta = b^2-4ac\).

• Si \(\Delta \lt 0\), alors \(f(x)\) est du signe de \(a\).
  D'où le tableau de signe :

  x	-∞						+∞
  \(f(x)\)				signe de \(a\)

• Si \(\Delta = 0\), alors \(f(x)\) est du signe de \(a\) et s'annule pour \(x_0=-\cfrac{b}{2a}\).
  D'où le tableau de signe :

  x	-∞			\(x_0\)			+∞
  \(f(x)\)		signe de \(a\)		0		signe de \(a\)

• Si \(\Delta \gt 0\), alors \(f(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines \(x_1\) et \(x_2\) et du signe contraire de \(a\) à l'intérieur des racines.
  D'où le tableau de signe : (on admet que \(x_1 \lt x_2\))

  x	-∞		\(x_1\)		\(x_2\)		+∞
  \(f(x)\)		signe de \(a\)	0	signe de \(-a\)	0	signe de \(a\)