- Une suite numérique est une liste infinie de nombres réels numérotés à l'aide d'entiers naturels.
- Si une suite \(u\) est définie pour tout entier naturel \(n\), le terme initial d'une suite \(u\) est \(u_0\).
- Si une suite \(u\) est définie pour tout entier naturel non nul \(n\), le terme initial d'une suite \(u\) est \(u_1\).
- Une suite numérique \(u\) se note aussi \((u_n)\).
- Le terme qui suit \(u_n\) est \(u_{n+1}\).
- le terme qui précède \(u_n\) est \(u_{n-1}\).
On étudiera deux façons de définir une suite :
Lorsqu'une suite est définie par une formule explicite, on peut calculer directement un terme quelconque \(u_n\) à partir de son rang \(n\).
- Pour tout entier naturel \(n\), on a :
\(\begin{cases} u_0=a \text{ avec } a\in \mathbb R \\ u_{n+1}=f(u_n) \end{cases}\) où \(f\) est une fonction.- Lorsqu'une suite est définie par une formule de récurrence à partir d'un terme initial, chaque terme \(u_n\) permet de calculer le terme suivant \(u_{n+1}\).
Pour calculer un terme, on a besoin de calculer tous les termes du rang initial jusqu'au rang voulu.
- Une suite \((u_n)\) définie par une formule explicite \(u_n=f(n)\), est représentée par le nuage des points d'abscisses entières de la courbe de la fonction \(f\).
- Voici l'exemple pour la suite : \(u_n=\cfrac{10}{n+1}\).
Dans un repère, on peut représenter les termes d'une suite définie par une formule de récurrence sur l'axe des abscisses.
Voici l'exemple pour la suite : \(\begin{cases} u_0=-1 \\ u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3} \end{cases}\).
- On trace la courbe \(y=\sqrt{2x+3}\).
- On trace la première bissectrice du repère d'équation \(y=x\).
On place sur l'axe des abscisses le point d'abscisse \(u_0=-1\).
- On construit le point de la courbe abscisse \(u_0=-1\), il aura donc pour ordonnée \(f(u_0)=u_1\).
- On construit le point de la première bissectrice d'ordonnée \(u_1\), donc son abscisse vaut aussi \(u_1\).
- On construit le point de l'axe des abscisses, d'abscisse \(u_1\).
- On construit le point de la courbe abscisse \(u_1\), il aura donc pour ordonnée \(f(u_1)=u_2\).
- On construit le point de la première bissectrice d'ordonnée \(u_2\), donc son abscisse vaut aussi \(u_2\).
- On construit le point de l'axe des abscisses, d'abscisse \(u_2\).
- On construit le point de la courbe abscisse \(u_2\), il aura donc pour ordonnée \(f(u_2)=u_3\).
- On construit le point de la première bissectrice d'ordonnée \(u_3\), donc son abscisse vaut aussi \(u_3\).
- On construit le point de l'axe des abscisses, d'abscisse \(u_3\).
Certaines suites ne sont ni croissantes, ni décroissantes, ni constantes.
Par exemple : \(u_n=(-1)^n\).
Pour étudier les variations d'une suite, on étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
- Les réciproques de ces propriétés sont fausses.
C'est-à-dire, par exemple,si la suite \((u_n)\) est croissante alors la fonction \(f\) n'est pas nécessairement croissante.
Voir le graphique ci-contre.- Cette propriété ne s'applique pas aux suites définies par une formule de récurrence.
- Soit \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\) par :
\(u_n=\cfrac{4n+8}{n+1}\)
La représentation graphique de la suite est donnée par le nuage de points ci-contre.- Les ordonnées (qui représentent les termes \(u_n\)) des points se rapprochent de 4, lorsque \(n\) augmente.
$$\lim_{n\to +\infty} u_n =4.$$
Il y a différentes façons pour qu'une suite soit divergente :
- elle peut tendre vers \(+\infty\) ;
- elle peut tendre vers \(-\infty\) ;
- elle peut tendre vers "plusieurs limites", par exemple une partie des termes de la suite tend vers \(1\) et une autre partie des points vers \(-1\).
par exemple : \(u_n=(-1)^n\).
Soit la suite \((u_n)\) définie par :
On remarque que les points s'accumulent vers le point d'abscisse 3, lorsque \(n\) augmente.
On conjecture que :$$\lim_{n\to +\infty} u_n =3.$$
Soit la suite \((u_n)\) définie par :
On remarque que les points s'éloignent vers \(-\infty\), lorsque \(n\) augmente.
On conjecture que :$$\lim_{n\to +\infty} u_n =-\infty.$$
Soit la suite \((u_n)\) définie par :
On remarque que des points s'éloignent vers \(-\infty\) et d'autres vers \(+\infty\), lorsque \(n\) augmente.
On conjecture que :
Soit la suite \((u_n)\) définie par :
On remarque que les points s'accumulent de chaque côté du point d'abscisse 3, lorsque \(n\) augmente.
On conjecture que :$$\lim_{n\to +\infty} u_n =3.$$
Soit la suite \((u_n)\) définie par :
On remarque que les points s'éloignent vers \(+\infty\), lorsque \(n\) augmente.
On conjecture que :$$\lim_{n\to +\infty} u_n =+\infty.$$