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Les suites

Définition

1. Suites numériques

1. Vocabulaire

Définition

Une suite numérique \(u\) est une fonction définie pour tous les entiers naturels \(n\) à partir d'un entier naturel \(p\), qui, à tout entier naturel \(n\geqslant p\), associe un nombre réel \(u(n)\) ou \(u_n\) :

\(u:n\mapsto u_n\)

Pour un entier \(k\geqslant p\), on dit que \(u_k\) est le terme de rang (ou d'indice) \(k\).
\(u_{p}\) est appelé le terme initial de la suite.

Commentaires

2. Mode de génération d'une suite

On étudiera deux façons de définir une suite :

Définition

On considère une suite \((u_n)\) avec \(n\in \mathbb N\).
Définir une suite par une formule explicite, c'est, pour tout entier naturel \(n\), donner une relation de la forme \(u_n=f(n)\) où \(f\) est une fonction définie sur \([0;+\infty[\).
Un terme \(u_n\) s'exprime directement en fonction de son rang \(n\).

Commentaire

Lorsqu'une suite est définie par une formule explicite, on peut calculer directement un terme quelconque \(u_n\) à partir de son rang \(n\).

Définition

On considère une suite \((u_n)\) avec \(n\in \mathbb N\).
Définir une suite par une formule de récurrence, c'est donner la valeur d'un terme initial (\(u_0\) par exemple) et un procédé qui permet de calculer un terme à partir de celui qui le précède.

Commentaires

Avec la numworks

Avec la

2. Sens de variation d'une suite

1. Représentation graphique d'une suite

a. Suite définie par une formule explicite

Définition

Dans un repère, la représentation graphique d'une suite \((u_n)\) est le nuage de points de coordonnées \((n;u_n)\) où \(n\in \mathbb N\).

Commentaire

b. Suite définie par une formule de récurrence

Dans un repère, on peut représenter les termes d'une suite définie par une formule de récurrence sur l'axe des abscisses.

Méthode

Voici l'exemple pour la suite : \(\begin{cases} u_0=-1 \\ u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3} \end{cases}\).

On place sur l'axe des abscisses le point d'abscisse \(u_0=-1\).

  • On construit le point de la courbe abscisse \(u_0=-1\), il aura donc pour ordonnée \(f(u_0)=u_1\).

  • On construit le point de la première bissectrice d'ordonnée \(u_1\), donc son abscisse vaut aussi \(u_1\).
  • On construit le point de l'axe des abscisses, d'abscisse \(u_1\).

  • On construit le point de la courbe abscisse \(u_1\), il aura donc pour ordonnée \(f(u_1)=u_2\).

  • On construit le point de la première bissectrice d'ordonnée \(u_2\), donc son abscisse vaut aussi \(u_2\).
  • On construit le point de l'axe des abscisses, d'abscisse \(u_2\).

  • On construit le point de la courbe abscisse \(u_2\), il aura donc pour ordonnée \(f(u_2)=u_3\).

  • On construit le point de la première bissectrice d'ordonnée \(u_3\), donc son abscisse vaut aussi \(u_3\).
  • On construit le point de l'axe des abscisses, d'abscisse \(u_3\).

2. Sens de variation

Propriété

Soit \((u_n)\) une suite numérique définie sur .

Commentaire

Certaines suites ne sont ni croissantes, ni décroissantes, ni constantes.
Par exemple : \(u_n=(-1)^n\).

Propriété

Soit \((u_n)\) une suite numérique définie sur .

Commentaire

Pour étudier les variations d'une suite, on étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n\).

Propriété

Soit \((u_n)\) une suite numérique définie pour tout entier \(n\ge p\), par une formule explicite \(u_n=f(n)\) où \(f\) est une suite définie sur l'intervalle \([p;+\infty [\).

Commentaire

  • Les réciproques de ces propriétés sont fausses.
    C'est-à-dire, par exemple,si la suite \((u_n)\) est croissante alors la fonction \(f\) n'est pas nécessairement croissante.
    Voir le graphique ci-contre.
  • Cette propriété ne s'applique pas aux suites définies par une formule de récurrence.


3. Notion de limite d'une suite

1. Suite convergente

Définition

Soit \((u_n)\) une suite numérique.
Lorsque, quand \(n\) augmente indéfiniment, les termes de la suite se rapprochent d'un nombre réel \(l\), on dit que la suite \((u_n)\) converge vers \(l\).
On dit que la limite de \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) est égale à \(l\).

On écrit :$$\lim_{n\to +\infty} u_n =l.$$

Commentaire

  • Soit \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\) par :
    \(u_n=\cfrac{4n+8}{n+1}\)
    La représentation graphique de la suite est donnée par le nuage de points ci-contre.
  • Les ordonnées (qui représentent les termes \(u_n\)) des points se rapproche de 4, lorsque \(n\) augmente.
    $$\lim_{n\to +\infty} u_n =4.$$


2. Suite divergente

Définition

Une suite \((u_n)\) est dite divergente lorsqu'elle n'est pas convergente.

Commentaire

Il y a différentes façons pour qu'une suite soit divergente :

3. Exemples avec des suites définies par une formule de récurrence



Déplacer le curseur pour afficher les points
nombre de termes : 0


Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\(\begin{cases} u_0=-8 \\ u_{n+1}=0.5u_n+1.5 \end{cases}\).

On remarque que les points s'accumulent vers le point d'abscisse 3, lorsque \(n\) augmente.

On conjecture que :$$\lim_{n\to +\infty} u_n =3.$$


Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\(\begin{cases} u_0=2 \\ u_{n+1}=1.3u_n-0.9 \end{cases}\).

On remarque que les points s'éloignent vers \(-\infty\), lorsque \(n\) augmente.

On conjecture que :$$\lim_{n\to +\infty} u_n =-\infty.$$


Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\(\begin{cases} u_0=1 \\ u_{n+1}=-1.4u_n+1.8 \end{cases}\).

On remarque que des points s'éloignent vers \(-\infty\) et d'autres vers \(+\infty\), lorsque \(n\) augmente.

On conjecture que :

la suite \((u_n)\) est divergente


Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\(\begin{cases} u_0=-4 \\ u_{n+1}=-0.8u_n+5.4 \end{cases}\).

On remarque que les points s'accumulent de chaque côté du point d'abscisse 3, lorsque \(n\) augmente.

On conjecture que :$$\lim_{n\to +\infty} u_n =3.$$


Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\(\begin{cases} u_0=-4 \\ u_{n+1}=1.3u_n+1.5 \end{cases}\).

On remarque que les points s'éloignent vers \(+\infty\), lorsque \(n\) augmente.

On conjecture que :$$\lim_{n\to +\infty} u_n =+\infty.$$