Les suites

Définition

1. Suites numériques

1. Vocabulaire

Définition

Une suite numérique $u$ est une fonction définie pour tous les entiers naturels $n$ à partir d'un entier naturel $p$, qui, à tout entier naturel $n\geqslant p$, associe un nombre réel $u(n)$ ou $u_n$ :

$u:n\mapsto u_n$
Pour un entier $k\geqslant p$, on dit que $u_k$ est le terme de rang (ou d'indice) $k$.
$u_{p}$ est appelé le terme initial de la suite.

Commentaires

Une suite numérique est une liste infinie de nombres réels numérotés à l'aide d'entiers naturels.
Si une suite $u$ est définie pour tout entier naturel $n$, le terme initial d'une suite $u$ est $u_0$.
Si une suite $u$ est définie pour tout entier naturel non nul $n$, le terme initial d'une suite $u$ est $u_1$.
Une suite numérique $u$ se note aussi $(u_n)$.
Le terme qui suit $u_n$ est $u_{n+1}$.
le terme qui précède $u_n$ est $u_{n-1}$.

2. Mode de génération d'une suite

On étudiera deux façons de définir une suite :

à l'aide d'une formule explicite ;
à l'aide d'une formule de récurrence.

Définition

On considère une suite $(u_n)$ avec $n\in \mathbb N$.
Définir une suite par une formule explicite, c'est, pour tout entier naturel $n$, donner une relation de la forme $u_n=f(n)$ où $f$ est une fonction définie sur $[0;+\infty[$.
Un terme $u_n$ s'exprime directement en fonction de son rang $n$.

Commentaire

Lorsqu'une suite est définie par une formule explicite, on peut calculer directement un terme quelconque $u_n$ à partir de son rang $n$.

Définition

On considère une suite $(u_n)$ avec $n\in \mathbb N$.
Définir une suite par une formule de récurrence, c'est donner la valeur d'un terme initial ($u_0$ par exemple) et un procédé qui permet de calculer un terme à partir de celui qui le précède.

Commentaires

Pour tout entier naturel $n$, on a :
$\begin{cases} u_0=a \text{ avec } a\in \mathbb R \\ u_{n+1}=f(u_n) \end{cases}$ où $f$ est une fonction.
Lorsqu'une suite est définie par une formule de récurrence à partir d'un terme initial, chaque terme $u_n$ permet de calculer le terme suivant $u_{n+1}$.
Pour calculer un terme, on a besoin de calculer tous les termes du rang initial jusqu'au rang voulu.

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2. Sens de variation d'une suite

1. Représentation graphique d'une suite

a. Suite définie par une formule explicite

Définition

Dans un repère, la représentation graphique d'une suite $(u_n)$ est le nuage de points de coordonnées $(n;u_n)$ où $n\in \mathbb N$.

Commentaire

Une suite $(u_n)$ définie par une formule explicite $u_n=f(n)$, est représentée par le nuage des points d'abscisses entières de la courbe de la fonction $f$.
Voici l'exemple pour la suite : $u_n=\cfrac{10}{n+1}$.

b. Suite définie par une formule de récurrence

Dans un repère, on peut représenter les termes d'une suite définie par une formule de récurrence sur l'axe des abscisses.

Méthode

Voici l'exemple pour la suite : $\begin{cases} u_0=-1 \\ u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3} \end{cases}$.

On trace la courbe $y=\sqrt{2x+3}$.
On trace la première bissectrice du repère d'équation $y=x$.

On place sur l'axe des abscisses le point d'abscisse $u_0=-1$.

On construit le point de la courbe abscisse $u_0=-1$, il aura donc pour ordonnée $f(u_0)=u_1$.

On construit le point de la première bissectrice d'ordonnée $u_1$, donc son abscisse vaut aussi $u_1$.
On construit le point de l'axe des abscisses, d'abscisse $u_1$.

On construit le point de la courbe abscisse $u_1$, il aura donc pour ordonnée $f(u_1)=u_2$.

On construit le point de la première bissectrice d'ordonnée $u_2$, donc son abscisse vaut aussi $u_2$.
On construit le point de l'axe des abscisses, d'abscisse $u_2$.

On construit le point de la courbe abscisse $u_2$, il aura donc pour ordonnée $f(u_2)=u_3$.

On construit le point de la première bissectrice d'ordonnée $u_3$, donc son abscisse vaut aussi $u_3$.
On construit le point de l'axe des abscisses, d'abscisse $u_3$.

2. Sens de variation

Propriété

Soit $(u_n)$ une suite numérique définie sur ℕ.

la suite $(u_n)$ est croissante lorsque pour tout $n\in \mathbb N, u_{n+1}>u_n$.
la suite $(u_n)$ est décroissante lorsque pour tout $n\in \mathbb N, u_{n+1}\lt u_n$.
la suite $(u_n)$ est constante lorsque pour tout $n\in \mathbb N, u_{n+1}=u_n$.
la suite $(u_n)$ est croissante à partir d'un certain rang $p$ lorsque pour tout $n\ge p, u_{n+1}>u_n$.
la suite $(u_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang $p$ lorsque pour tout $n\ge p, u_{n+1}\lt u_n$.
la suite $(u_n)$ est constante à partir d'un certain rang $p$ lorsque pour tout $n\ge p, u_{n+1}=u_n$.

Commentaire

Certaines suites ne sont ni croissantes, ni décroissantes, ni constantes.
Par exemple : $u_n=(-1)^n$.

Propriété

Soit $(u_n)$ une suite numérique définie sur ℕ.

la suite $(u_n)$ est croissante lorsque pour tout $n\in \mathbb N, u_{n+1}-u_n>0$.
la suite $(u_n)$ est décroissante lorsque pour tout $n\in \mathbb N, u_{n+1}- u_n\lt 0$.
la suite $(u_n)$ est constante lorsque pour tout $n\in \mathbb N, u_{n+1}-u_n=0$.
la suite $(u_n)$ est croissante à partir d'un certain rang $p$ lorsque pour tout $n\ge p, u_{n+1}-u_n>0$.
la suite $(u_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang $p$ lorsque pour tout $n\ge p, u_{n+1}- u_n\lt 0$.
la suite $(u_n)$ est constante à partir d'un certain rang $p$ lorsque pour tout $n\ge p, u_{n+1}-u_n =0$.

Commentaire

Pour étudier les variations d'une suite, on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$.

Propriété

Soit $(u_n)$ une suite numérique définie pour tout entier $n\ge p$, par une formule explicite $u_n=f(n)$ où $f$ est une suite définie sur l'intervalle $[p;+\infty [$.

Si la fonction $f$ est croissante sur $[p;+\infty [$, alors la suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $p$.
Si la fonction $f$ est décroissante sur $[p;+\infty [$, alors la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $p$.

Commentaire

Les réciproques de ces propriétés sont fausses.
C'est-à-dire, par exemple,si la suite $(u_n)$ est croissante alors la fonction $f$ n'est pas nécessairement croissante.
Voir le graphique ci-contre.
Cette propriété ne s'applique pas aux suites définies par une formule de récurrence.

3. Notion de limite d'une suite

1. Suite convergente

Définition

Soit $(u_n)$ une suite numérique.
Lorsque, quand $n$ augmente indéfiniment, les termes de la suite se rapprochent d'un nombre réel $l$, on dit que la suite $(u_n)$ converge vers $l$.
On dit que la limite de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ est égale à $l$.

On écrit :$$\lim_{n\to +\infty} u_n =l.$$

Commentaire

Soit $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ par :
$u_n=\cfrac{4n+8}{n+1}$
La représentation graphique de la suite est donnée par le nuage de points ci-contre.
Les ordonnées (qui représentent les termes $u_n$) des points se rapprochent de 4, lorsque $n$ augmente.
$$\lim_{n\to +\infty} u_n =4.$$

2. Suite divergente

Définition

Une suite $(u_n)$ est dite divergente lorsqu'elle n'est pas convergente.