Polynômes du second degré

Définition

Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des réels avec a≠0.
Cette forme est la forme développée de f et les réels a, b et c sont les coefficients de f.

Commentaires

La fonction carré est une fonction polynôme du second degré avec a=1, b=0, c=0.
Lorsque a=0, f est une fonction affine, de plus si b≠0, on dit aussi que f est un polynôme du premier degré..

Racines et factorisation

Définition

On appelle racine de la fonction polynôme du second degré f tout nombre réel x₀ tel que f(x₀)=0.
Autrement dit, une racine de f est une solution de l'équation f(x)=0.

Propriété

Soit f définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c avec a≠0.
Si le réel x₀ est une racine de f, alors f peut se factoriser par (x - x₀) sous la forme :

f(x) = (x - x₀)(dx + e) où det e sont des réels.

Commentaires

En développant, on remarque que d=a.
Une fonction polynôme du seconde degré peut donc avoir au maximum 2 racines.

Propriété

Soit f définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c avec a≠0.
Si f admet les réels x₁ et x₂ pour racines, alors f s'écrit sous la forme factorisée :

f(x) = a(x - x₁)(x - x₂).

Commentaire

Attention à ne pas oublier le coefficient a dans la forme factorisée.

Relation entre la somme et le produit des racines, et les coefficients du polynôme du second degré

Propriété

Soit \(f\) définie sur ℝ par \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\ne 0\).
Si \(f\) admet les réels \(x_1\) et \(x_2\) pour racines, alors :

la somme des racines : \(S=x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}\);
le produit des racines : \(S=x_1x_2=\cfrac{c}{a}\)

Forme canonique

Définition et propriété

Toute fonction polynôme du second degré \(f\) définie sur ℝ par \(f(x)=ax^2+bx+c\) s'écrit sous la forme \(f(x)=a(x-\alpha )^2+\beta\), où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des réels, appelée forme canonique de \(f\).

Démonstration à connaitre

Commentaire

On utilise l'identité remarquable (modifiée) : \(x^2+2ax=(x+a)^2-a^2\)

Propriété

Soit \(f\) définie sur ℝ par \(f(x)=ax^2+bx+c\).
La forme canonique de \(f\) est \(f(x)=a(x-\alpha )^2+\beta\) avec \(\alpha =\cfrac{-b}{2a}\) et \(\beta =f(\alpha)\).

Démonstration à connaitre

Variations et extremum

Propriétés

Soit \(f\) définie sur ℝ par \(f(x)=ax^2+bx+c\).
La forme canonique de \(f\) est \(f(x)=a(x-\alpha )^2+\beta\) alors :

Si \(a\gt 0\) :
La fonction \(f\)est décroissante sur ]-∞ ;\(\alpha\)].
La fonction \(f\) est croissante sur [\(\alpha\) ; +∞[.
Le tableau de variations de la fonction \(f\) :

\(x\) -∞ \(\alpha\) +∞

\(f(x)\) \(\beta\)
Si \(a\lt 0\) :
La fonction \(f\)est croissante sur ]-∞ ;\(\alpha\)].
La fonction \(f\) est décroissante sur [\(\alpha\) ; +∞[.
Le tableau de variations de la fonction \(f\) :

\(x\) -∞ \(\alpha\) +∞

\(f(x)\) \(\beta\)

Démonstration à connaitre

Propriétés

Soit \(f\) définie sur ℝ par \(f(x)=ax^2+bx+c\).
La forme canonique de \(f\) est \(f(x)=a(x-\alpha )^2+\beta\) alors :

Si \(a\gt 0\) :
la fonction \(f\) admet un minimum en \(\alpha\) qui vaut \(\beta\).
Si \(a\lt 0\) :
la fonction \(f\) admet un maximum en \(\alpha\) qui vaut \(\beta\).

La courbe représentative : la parabole

a = 1 b = 1 c = 1

Parabole y = f(x)

f(X) = x² + x + 1
La forme canonique : (x + 0.50)² + 0.75.
Le sommet S(-0.50 ; 0.75)
L'axe de symétrie x = -0.50.

Le tableau de variations de la fonction \(f\) :

\(x\) -∞ -0.50 +∞

\(f(x)\) 0.75

Le tableau de variations de la fonction \(f\) :

\(x\) -∞ +∞

\(f(x)\)