logo
Polynômes du second degré

Définition

Définition

Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur par f(x) = ax2 + bx + c, où a, b et c sont des réels avec a≠0.
Cette forme est la forme développée de f et les réels a, b et c sont les coefficients de f.

Commentaires

Racines et factorisation

Définition

On appelle racine de la fonction polynôme du second degré f tout nombre réel x0 tel que f(x0)=0.
Autrement dit, une racine de f est une solution de l'équation f(x)=0.


Propriété

Soit f définie sur par f(x) = ax2 + bx + c avec a≠0.
Si le réel x0 est une racine de f, alors f peut se factoriser par (x - x0) sous la forme :

f(x) = (x - x0)(dx + e)det e sont des réels.

Commentaires

Propriété

Soit f définie sur par f(x) = ax2 + bx + c avec a≠0.
Si f admet les réels x1 et x2 pour racines, alors f s'écrit sous la forme factorisée :

f(x) = a(x - x1)(x - x2).

Commentaire

Attention à ne pas oublier le coefficient a dans la forme factorisée.

Relation entre la somme et le produit des racines, et les coefficients du polynôme du second degré

Propriété

Soit \(f\) définie sur par \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\ne 0\).
Si \(f\) admet les réels \(x_1\) et \(x_2\) pour racines, alors :

Forme canonique

Définition et propriété

Toute fonction polynôme du second degré \(f\) définie sur par \(f(x)=ax^2+bx+c\) s'écrit sous la forme \(f(x)=a(x-\alpha )^2+\beta\), où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des réels, appelée forme canonique de \(f\).

Démonstration à connaitre

Commentaire

On utilise l'identité remarquable (modifiée) : \(x^2+2ax=(x+a)^2-a^2\)

Propriété

Soit \(f\) définie sur par \(f(x)=ax^2+bx+c\).
La forme canonique de \(f\) est \(f(x)=a(x-\alpha )^2+\beta\) avec \(\alpha =\cfrac{-b}{2a}\) et \(\beta =f(\alpha)\).

Démonstration à connaitre

Variations et extremum

Propriétés

Soit \(f\) définie sur par \(f(x)=ax^2+bx+c\).
La forme canonique de \(f\) est \(f(x)=a(x-\alpha )^2+\beta\) alors :

Démonstration à connaitre

Propriétés

Soit \(f\) définie sur par \(f(x)=ax^2+bx+c\).
La forme canonique de \(f\) est \(f(x)=a(x-\alpha )^2+\beta\) alors :

La courbe représentative : la parabole

a = 1 b = 1 c = 1

Parabole y = f(x)

f(X) = x2 + x + 1
La forme canonique : (x + 0.50)2 + 0.75.
Le sommet S(-0.50 ; 0.75)
L'axe de symétrie x = -0.50.

Le tableau de variations de la fonction \(f\) :
\(x\) -∞ -0.50 +∞
\(f(x)\) 0.75