Suites arithmétiques

Définition

1. Définitions et propriétés

Définition

Une suite est arithmétique lorsque, à partir de son terme initial, on passe d'un terme quelconque au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre réel appelé la raison de la suite.
Une suite arithmétique (\(u_n\)) de terme initial \(u_0\) et de raison \(r\) est définie sur ℕ par la relation de récurrence : \(u_{n+1}=u_n+r\).

Commentaire

Pour une suite arithmétique, la variation absolue entre deux termes consécutifs \(u_{n+1}-u_n\) est donc constante et égale à la raison \(r\)

Propriété

Une suite arithmétique est :

croissante si, et seulement si sa raison est positive.
décroissante si, et seulement si sa raison est négative.
constante si, et seulement si sa raison est nulle.

Propriété

Soit (\(u_n\)) une suite arithmétique de terme initial \(u_0\) et de raison \(r\). Pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n=u_0+n\times r\).
Cette relation est la forme explicite du terme général de la suite.

n = 4

Plus généralement, pour tous entiers naturels \(n\) et \(p\), \(u_n=u_p+(n-p)\times r\).

Commentaires

Les suites arithmétiques sont les suites \((u_n)\) dont le terme général est e la forme \(u_n=a\times n+b\).
De telles suites sont représentées graphiquement par des points alignés sur la droite d'équation \(y=ax+b\).
Une suite arithmétique permet donc de modéliser des phénomènes d'évolution linéaire, à variations absolues constantes.

2. Somme de termes consécutifs

Propriété

La somme des \(n\) premiers entiers naturels non nuls est :

\(1+2+3+...+n=\cfrac{n(n+1)}{2}\)

Démonstration à connaitre

Propriété

Soit \(u_n\) une suite arithmétique et \(n\) et \(p\) deux entiers naturels :

\(u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_{n+p}=\cfrac{(p+1)(u_{n}+u_{n+p})}{2}\)

Commentaire

La formule peut se traduire :
\(u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_{n+p}=\cfrac{(\text{nombre de termes})\times (\text{premier terme de la somme + dernier terme de la somme})}{2}\).