Suites géométriques

Définition

1. Définitions et propriétés

Définition

Une suite est géométrique lorsque, à partir de son terme initial, on passe d'un terme quelconque au terme suivant en multipliant toujours le même nombre réel appelé la raison de la suite.
Une suite géométrique (\(u_n\)) de terme initial \(u_0\) et de raison \(q\) est définie sur ℕ par la relation de récurrence : \(u_{n+1}=q\times u_n\).

Commentaires

La raison d'une suite géométrique correspond au coefficient multiplicateur qui permet de passer d'un terme au terme suivant.
Les suites géométriques permettent de modéliser des phénomènes discrets pour lesquels la variation relative entre deux termes consécutifs \(\cfrac{u_{n+1}-u_n}{u_n}\) est constante. En effet \(\cfrac{u_{n+1}-u_n}{u_n}=q-1\). On parle de phénomène à évolution exponentielle.

Propriété

Une suite géométrique de terme général \(q^n\) avec \(q>0\) :

Si \(q>1\) alors la suite \((q^n)\) est croissante.
Si \(0\lt q\lt 1\) alors la suite \((q^n)\) est décroissante.
Si \(q=1\) alors la suite \((q^n)\) est constante.

Commentaires

Si \(q=0\) alors la suite est nulle à partir du second terme.
Si \(q\lt 0\) alors la suite \((q^n)\) est ni croissante, ni décroissante.

Propriété

Soit (\(u_n\)) une suite géométrique de terme initial \(u_0\) et de raison \(q\). Pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n=u_0\times q^n\).
Cette relation est la forme explicite du terme général de la suite.

n = 4

Plus généralement, pour tous entiers naturels \(n\) et \(p\), \(u_n=u_p\times q^{n-p}\).

2. Somme de termes consécutifs

Propriété

Soient \(n\) un entier naturel non nul et \(q\) un réel différent de 1 :

\(1+q+q^2+...+q^n=\cfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

Démonstration à connaitre

Propriété

Soit \(u_n\) une suite géométrique de raison \(q\ne 1\) et \(n\) et \(p\) deux entiers naturels :

\(u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_{n+p}=\cfrac{u_{n}-u_{n+p+1}}{1-q}\)

Commentaire

La formule peut se traduire :
\(u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_{n+p}=\cfrac{\text{(premier terme qui est dans la somme)}-\text{(premier terme qui n'y est pas)}}{1-\text{(la raison)}}\).