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Suites géométriques

Définition

1. Définitions et propriétés

Définition

Une suite est géométrique lorsque, à partir de son terme initial, on passe d'un terme quelconque au terme suivant en multipliant toujours le même nombre réel appelé la raison de la suite.
Une suite géométrique (\(u_n\)) de terme initial \(u_0\) et de raison \(q\) est définie sur par la relation de récurrence : \(u_{n+1}=q\times u_n\).

Commentaires

Propriété

Une suite géométrique de terme général \(q^n\) avec \(q>0\) :

Commentaires

Propriété

Soit (\(u_n\)) une suite géométrique de terme initial \(u_0\) et de raison \(q\). Pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n=u_0\times q^n\).
Cette relation est la forme explicite du terme général de la suite.

n = 4


Plus généralement, pour tous entiers naturels \(n\) et \(p\), \(u_n=u_p\times q^{n-p}\).

Commentaires

2. Somme de termes consécutifs

Propriété

Soient \(n\) un entier naturel non nul et \(q\) un réel différent de 1 :

\(1+q+q^2+...+q^n=\cfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)


Démonstration à connaitre



Propriété

Soit \(u_n\) une suite géométrique de raison \(q\ne 1\) et \(n\) et \(p\) deux entiers naturels :

\(u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_{n+p}=\cfrac{u_{n}-u_{n+p+1}}{1-q}\)

Commentaire

La formule peut se traduire :
\(u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_{n+p}=\cfrac{\text{(premier terme qui est dans la somme)}-\text{(premier terme qui n'y est pas)}}{1-\text{(la raison)}}\).