Statistiques et probabilités Pourcentages et évolutions

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Pourcentages et évolutions

Pourcentages

Définition

La proportion (ou fréquence) d'une sous-population S dans une population E est le quotient de l'effectif de S par l'effectif de E. Soit la proportion p =

effectif de S/effectif de E

.

Exemple

Il y a 3 chevaux gris dans un élevage de 16 chevaux.

Soit la proportion de chevaux gris p =

3/16
ou 0,1875 ou 18,75%.

Propriété

Soit E une population, A une sous-population de E et B une sous-population de A.
La proportion P de B dans E est égale au produit de la proportion p de B dans A par la proportion p' de A dans E.
On a donc P = p × p'.

Commentaires

On appelle N_E l'effectif de E, N_A l'effectif de A et N_B l'effectif de B.

P =

N_B/N_E
,
p =

N_B/N_A

et p' =

N_A/N_E
.
On a bien P = p × p' =
N_B/N_A

×

N_A/N_E
=

N_B/N_E
.

Evolutions

Lien entre évolution et pourcentage

Définition

Dire qu'il y a une évolution de t% entre une valeur initiale V₀ (non nulle) et une valeur finale V₁ signifie que :
\(V_{1}=V_{0}+\cfrac{\color{red}{t}}{100}\times V_{0}\), c'est à dire que \(V_{1}=\left(1+\cfrac{\color{red}{t}}{100}\right)\times V_{0}\).
Le coefficient multiplicateur de V₀ à V₁, noté CM est le quotient \(\cfrac{V_1}{V_0}=1+\cfrac{\color{red}{t}}{100}\).
Si CM > 1, alors l'évolution est une augmentation. Si CM < 1, alors l'évolution est une diminution.

Exemples

Une évolution de t% avec t négatif est appelée une diminution (ou baisse) de |t|%.
Augmenter un nombre de 7%, c'est le multiplier par 1,07. En effet, \(1+\cfrac{\color{red}{7}}{100}=\color{red}{1,07}\).
Diminuer un nombre de 7%, c'est le multiplier par 0,93. En effet, \(1-\cfrac{\color{red}{7}}{100}=\color{red}{0,93}\).

Définition-propriété

La variation absolue est la différence entre la valeur finale et la valeur initiale.
variation absolue = \(V_1-V_0\).
La variation relative (ou taux d'évolution t%)est le quotient de la variation absolue par la valeur initiale.
variation relative = \(\cfrac{V_1-V_0}{V_0}\).

Exemple

Le prix d'un article est passé de 150€ à 180€.

La variation relative est donc de t=\(\cfrac{180-150}{150}=\cfrac{30}{150}=0,20\).
Ce prix a donc subi une augmentation de 20%.

Evolutions successives

Définition-propriétés

Une valeur V₀ subit plusieurs évolutions successives :
t₁% de coefficient multiplicateur CM₁, suivie de t₂% de coefficient multiplicateur CM₂, suivie de ...

Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs intermédiaires. CM_g=CM₁ × CM₂ × ...
Le taux d'évolution globale est donc t_g = CM_g - 1.

Exemple

Le prix d'un objet subit une hausse de 8% puis une nouvelle augmentation de 10%.

le taux d'évolution global \(t_g\)% est tel que :
\(CM_g=1+\cfrac{t}{100}=\left(1+\cfrac{8}{100}\right)\times \left(1+\cfrac{10}{100}\right)=1,08\times 1,1=1,188\)
\(t_g=CM_g-1=0,188\) donc le prix a augmenté de 18,8%.

Evolution réciproque

Définitions

Une valeur initiale V₀ évolue de t% vers une valeur V₁, on note CM le coefficient multiplicateur correspondant.
L'évolution réciproque est l'évolution qui fait passer la valeur V₁ à la valeur V₀.
Le taux d'évolution réciproque est le taux d'évolution appliqué à la valeur V₁ qui permet de revenir à la valeur initiale V₀.

Son coefficient multiplicateur \(CM_{rec}\) est égal à \(\cfrac{1}{CM}\). Donc \(CM_{rec}=\cfrac{1}{1+\cfrac{t}{100}}\)

Exemple

Un article augmente de 10%. Quelle évolution permettrait de retrouver le prix initial ?

Le coefficient multiplicateur réciproque \(CM_{rec}=\cfrac{1}{1+\cfrac{10}{100}}\approx 0,909\)
Donc le taux d'évolution réciproque est \(CM_{rec}-1=0,909-1=-0,091\). Donc il faut baisser le prix de 9,1%.

QUIZZ

La proportion p d'une sous-population d'effectif n d'une population d'effectif N est
\(\frac{N}{n}\).
\(\frac{n}{N}\).
\(\frac{N}{100}\).
\(\frac{n}{100}\).

p est la proportion de la sous-population A dans une population B
p' est la proportion de la sous-population C dans la population A
Que vaut la proportion de la sous-population C dans la population B
p + p'.
p × p'.
p'/p'.
p/p'.

Si une valeur V subit une baisse de t%, alors V est multiplié par
\(\frac{100}{t}\).
\(\frac{t}{100}\).
\(1+\frac{t}{100}\).
\(1-\frac{t}{100}\).

Si une valeur V subit successivement une augmentation correspondant à un coefficient multiplicateur \(CM_1\), puis d'une diminution correspondant à un coefficient multiplicateur \(CM_2\)
Le coefficient multiplicateur global \(CM_g\) vaut
\(CM_1 + CM_2\).
\(CM_1 - CM_2\).
\(CM_1 \times CM_2\).
\(\cfrac{CM_1}{CM_2}\).

Une valeur subit une dimunition de 50%, quel est le taux réciproque permettant de retrouver la valeur initiale ?
-50%.
25%.
50%.
100%.

page réalisée par Eric Hartung pour le site mathartung.xyz