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Statistiques

Indicateur de tendance centrale

La moyenne

Définition

On considère la série statistique \((x_1, n_1)\), \((x_2, n_2)\), ..., \((x_p, n_p)\) où \(x_1, x_2, ...,x_p\) sont les valeurs du caractère étudié et \(n_1, n_2, ...,n_p\) les effectifs associés. Alors la moyenne notée \(\bar{x}\) de cette série est définie par :

\(\bar{x}=\cfrac{n_1x_1+n_2x_2+ ... +n_px_p}{n_1+n_2+ ... +n_p}\)

Exemple

On considère la série suivante :

Valeur58101216
Effectif24561

\(\bar{x}=\cfrac{n_1x_1+n_2x_2+ ... +n_px_p}{n_1+n_2+ ... +n_p}=\cfrac{2\times 5+4\times 8+ 5\times 10+6\times 12+1\times 16}{2+4+5+6+1}=10\)

Avec la numworks

Avec la

Propriété

Soit \(f_1, f_2, ...,f_p\) les fréquences associées aux valeurs \(x_1, x_2, ...,x_p\) de la série statistique. Alors :

\(\bar{x}=f_1x_1+f_2x_2+ ... +f_px_p\)

Exemple

On considère la série suivante :

Valeur59131214
Fréquence0,20,10,30,350,05

\(\bar{x}=f_1x_1+f_2x_2+ ... +f_px_p=0,2\times 5+0,1\times 9+ 0,3\times 13+0,35\times 12+0,05\times 14=10,7\)

Théorème (linéarité de la moyenne)

On considère une série statistique prenant comme valeurs \(x_1, x_2, ...,x_p\). On note \(\bar{x}\) sa moyenne.
Pour tous réels \(a\) et \(b\) la série statistique prenant les valeurs \(ax_1+b, ax_2+b, ...,ax_p+b\) a pour moyenne \(a\bar{x}+b\).

Exemple

On considère la série précédente. On décide de rajouter 2 à toutes les valeurs

Valeur710121418
Effectif24561
\(\bar{x}=10+2=12\)

Vérification :
\(\bar{x}=\cfrac{n_1x_1+n_2x_2+ ... +n_px_p}{n_1+n_2+ ... +n_p}=\cfrac{2\times 7+4\times 10+ 5\times 12+6\times 14+1\times 18}{2+4+5+6+1}=12\)

La médiane et les quartiles

Définition

La médiane d'une série de N valeurs rangées par ordre croissant est le nombre Me, tel qu'au moins 50% des valeurs de la série lui sont inférieures ou égales et au moins 50% lui sont supérieures ou égales.


Définitions

Les valeurs d'une série statistique étant rangées par ordre croissant.

Exemple

Soit la série ordonnée suivante : 0; 0; 0; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 6; 6; 6; 6; 6; 9.

Avec la numworks

Avec la

Indicateurs de dispersion

Etendue et écart interquartile

Définitions

Exemple

Avec l'exemple précédent

Ecart-type

Définition

On considère la série statistique \((x_1, n_1)\), \((x_2, n_2)\), ..., \((x_p, n_p)\) où \(x_1, x_2, ...,x_p\) sont les valeurs du caractère étudié et \(n_1, n_2, ...,n_p\) les effectifs associés, et de moyenne \(\bar{x}\). Alors l'écart-type noté \(\sigma\) est défini par :

\(\sigma =\sqrt{\cfrac{n_1(x_1-\bar{x})^2+n_2(x_2-\bar{x})^2+...+n_p(x_p-\bar{x})^2}{n_1+n_2+...+n_p}}\).

Commentaires

Exemple

On considère la série suivante :

Valeur58101216
Effectif24561

On a vu précédemment que \(\bar{x}=10\).

\(\sigma =\sqrt{\cfrac{2(5-10)^2+4(8-10)^2+ 5(10-10)^2+6(12-10)^2+1(16-10)^2}{2+4+5+6+1}}=\sqrt{7}=2,64...\)

Avec la numworks

Avec la