Indicateur de tendance centrale

La moyenne

Définition

On considère la série statistique , , ..., où sont les valeurs du caractère étudié et les effectifs associés. Alors la moyenne notée de cette série est définie par :

Exemple

On considère la série suivante :

Valeur	5	8	10	12	16
Effectif	2	4	5	6	1

Avec la numworks

Avec la

Propriété

Soit les fréquences associées aux valeurs de la série statistique. Alors :

Exemple

On considère la série suivante :

Valeur	5	9	13	12	14
Fréquence	0,2	0,1	0,3	0,35	0,05

Théorème (linéarité de la moyenne)

On considère une série statistique prenant comme valeurs . On note sa moyenne.
Pour tous réels et la série statistique prenant les valeurs a pour moyenne .

Exemple

On considère la série précédente. On décide de rajouter 2 à toutes les valeurs

Valeur	7	10	12	14	18
Effectif	2	4	5	6	1

Vérification :

La médiane et les quartiles

Définition

La médiane d'une série de N valeurs rangées par ordre croissant est le nombre Me, tel qu'au moins 50% des valeurs de la série lui sont inférieures ou égales et au moins 50% lui sont supérieures ou égales.

• Si N est impair, Me est la valeur centrale.
• Si N est pair, Me est la demi-somme des deux valeurs centrales.

Définitions

Les valeurs d'une série statistique étant rangées par ordre croissant.

• Le premier quartile noté Q₁ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q₁.
• Le troisième quartile noté Q₃ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q₃.

Exemple

Soit la série ordonnée suivante : 0; 0; 0; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 6; 6; 6; 6; 6; 9.

• La médiane : L'effectif total est 22 qui est pair. La 11^ème valeur et la 12^ème valeur sont les 2 valeurs centrales, d'où la médiane ; ;
• Le premier quartile Q₁ : On cherche sa position 22×0,25 = 5,5 (on arrondit toujours à l'entier supérieur) soit 6, Donc Q₁=6^ème valeur=2.
• Le troisième quartile Q₃ : On cherche sa position 22×0,75 = 16,5 (on arrondit toujours à l'entier supérieur) soit 17, Donc Q₃=17^ème valeur=6.

Avec la numworks

Avec la

Indicateurs de dispersion

Etendue et écart interquartile

Définitions

• L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur d'une série.
• L'écart interquartile est la différence Q₃-Q₁ entre les troisiéme et premier quartiles.

Exemple

Avec l'exemple précédent

• l'étendue est 9 - 0 = 9.
• L'écart interquartile est Q₃-Q₁ = 6 - 2 = 4.

Ecart-type

Définition

On considère la série statistique , , ..., où sont les valeurs du caractère étudié et les effectifs associés, et de moyenne . Alors l'écart-type noté est défini par :

.

Commentaires

• L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne; plus il est grand plus les valeurs sont éloignées de la moyenne.
• L'écart-type est exprimé dans la même unité que celle du caractère étudié.
• Il est souvent intéressant de calculer la proportion de valeurs de la série appartenant à l'intervalle .
• L'écart-type est essentiellement calculé à l'aide d'une calculatrice ou d'un ordinateur (par exemple avec un programme en Python)

Exemple

On considère la série suivante :

Valeur	5	8	10	12	16
Effectif	2	4	5	6	1

On a vu précédemment que .

Avec la numworks

Avec la

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