Statistiques

Indicateur de tendance centrale

La moyenne

Définition

On considère la série statistique \((x_1, n_1)\), \((x_2, n_2)\), ..., \((x_p, n_p)\) où \(x_1, x_2, ...,x_p\) sont les valeurs du caractère étudié et \(n_1, n_2, ...,n_p\) les effectifs associés. Alors la moyenne notée \(\bar{x}\) de cette série est définie par :

\(\bar{x}=\cfrac{n_1x_1+n_2x_2+ ... +n_px_p}{n_1+n_2+ ... +n_p}\)

Exemple

On considère la série suivante :

Valeur 5 8 10 12 16

Effectif 2 4 5 6 1

\(\bar{x}=\cfrac{n_1x_1+n_2x_2+ ... +n_px_p}{n_1+n_2+ ... +n_p}=\cfrac{2\times 5+4\times 8+ 5\times 10+6\times 12+1\times 16}{2+4+5+6+1}=10\)

Valeur	5	8	10	12	16
Effectif	2	4	5	6	1

Avec la numworks

Avec la

Propriété

Soit \(f_1, f_2, ...,f_p\) les fréquences associées aux valeurs \(x_1, x_2, ...,x_p\) de la série statistique. Alors :

\(\bar{x}=f_1x_1+f_2x_2+ ... +f_px_p\)

Exemple

On considère la série suivante :

Valeur 5 9 13 12 14

Fréquence 0,2 0,1 0,3 0,35 0,05

\(\bar{x}=f_1x_1+f_2x_2+ ... +f_px_p=0,2\times 5+0,1\times 9+ 0,3\times 13+0,35\times 12+0,05\times 14=10,7\)

Valeur	5	9	13	12	14
Fréquence	0,2	0,1	0,3	0,35	0,05

Théorème (linéarité de la moyenne)

On considère une série statistique prenant comme valeurs \(x_1, x_2, ...,x_p\). On note \(\bar{x}\) sa moyenne.
Pour tous réels \(a\) et \(b\) la série statistique prenant les valeurs \(ax_1+b, ax_2+b, ...,ax_p+b\) a pour moyenne \(a\bar{x}+b\).

Exemple

On considère la série précédente. On décide de rajouter 2 à toutes les valeurs

Valeur 7 10 12 14 18

Effectif 2 4 5 6 1

\(\bar{x}=10+2=12\)

Vérification :
\(\bar{x}=\cfrac{n_1x_1+n_2x_2+ ... +n_px_p}{n_1+n_2+ ... +n_p}=\cfrac{2\times 7+4\times 10+ 5\times 12+6\times 14+1\times 18}{2+4+5+6+1}=12\)

Valeur	7	10	12	14	18
Effectif	2	4	5	6	1

La médiane et les quartiles

Définition

La médiane d'une série de N valeurs rangées par ordre croissant est le nombre Me, tel qu'au moins 50% des valeurs de la série lui sont inférieures ou égales et au moins 50% lui sont supérieures ou égales.

Si N est impair, Me est la valeur centrale.
Si N est pair, Me est la demi-somme des deux valeurs centrales.

Définitions

Les valeurs d'une série statistique étant rangées par ordre croissant.

Le premier quartile noté Q₁ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q₁.
Le troisième quartile noté Q₃ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q₃.

Exemple

Soit la série ordonnée suivante : 0; 0; 0; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 6; 6; 6; 6; 6; 9.

La médiane : L'effectif total est 22 qui est pair. La 11^ème valeur et la 12^ème valeur sont les 2 valeurs centrales, d'où la médiane \(Me=\cfrac{3+4}{2}=3,5\); ;
Le premier quartile Q₁ : On cherche sa position 22×0,25 = 5,5 (on arrondit toujours à l'entier supérieur) soit 6, Donc Q₁=6^ème valeur=2.
Le troisième quartile Q₃ : On cherche sa position 22×0,75 = 16,5 (on arrondit toujours à l'entier supérieur) soit 17, Donc Q₃=17^ème valeur=6.

Avec la numworks

Avec la

Diagramme en boîte ou boîte à moustaches

Le diagramme en boîte aussi appelé boîte à moustaches résume seulement quelques indicateurs de position du caractère étudié (médiane, quartiles, minimum, maximum ou déciles). Ce diagramme est utilisé principalement pour comparer un même caractère dans deux populations de tailles différentes.

Exemple

Voici le diagramme en boite de l'exemple précédent :

Avec la numworks

Avec la

Indicateurs de dispersion

Etendue et écart interquartile

Définitions

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur d'une série.
L'écart interquartile est la différence Q₃-Q₁ entre les troisiéme et premier quartiles.

Exemple

Avec l'exemple précédent

l'étendue est 9 - 0 = 9.
L'écart interquartile est Q₃-Q₁ = 6 - 2 = 4.

Ecart-type

Définition

On considère la série statistique \((x_1, n_1)\), \((x_2, n_2)\), ..., \((x_p, n_p)\) où \(x_1, x_2, ...,x_p\) sont les valeurs du caractère étudié et \(n_1, n_2, ...,n_p\) les effectifs associés, et de moyenne \(\bar{x}\). Alors l'écart-type noté \(\sigma\) est défini par :

\(\sigma =\sqrt{\cfrac{n_1(x_1-\bar{x})^2+n_2(x_2-\bar{x})^2+...+n_p(x_p-\bar{x})^2}{n_1+n_2+...+n_p}}\).

Commentaires

L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne; plus il est grand plus les valeurs sont éloignées de la moyenne.
L'écart-type est exprimé dans la même unité que celle du caractère étudié.
Il est souvent intéressant de calculer la proportion de valeurs de la série appartenant à l'intervalle \([\bar{x}-2\sigma ; \bar{x}+2\sigma]\).
L'écart-type est essentiellement calculé à l'aide d'une calculatrice ou d'un ordinateur (par exemple avec un programme en Python)

Exemple

On considère la série suivante :

Valeur 5 8 10 12 16

Effectif 2 4 5 6 1

On a vu précédemment que \(\bar{x}=10\).
\(\sigma =\sqrt{\cfrac{2(5-10)^2+4(8-10)^2+ 5(10-10)^2+6(12-10)^2+1(16-10)^2}{2+4+5+6+1}}=\sqrt{7}=2,64...\)

Valeur	5	8	10	12	16
Effectif	2	4	5	6	1

Avec la numworks

Avec la

La formule de la moyenne de la série statistique suivante est

Valeur	3	6	17	21	116
Effectif	13	14	52	6	111

\(\bar{x}=\frac{3+6+17+21+116}{5}\).
\(\bar{x}=\frac{13+14+52+6+111}{5}\).
\(\bar{x}=\frac{13\times 3+14\times 6+52\times 17+6\times 21+111\times 116}{13+14+52+6+111}\).
\(\bar{x}=\frac{3+6+17+21+116}{13+14+52+6+111}\).

Toutes les valeurs d'une série statistique sont multipliées par 2 alors sa moyenne
ne change pas.
est aussi multipliée par 2.
est divisée par 2, car il ya deux plus de valeurs.
est augmentée par 2.

La médiane de la série statistique 1; 2; 3; 4; 5 est
1.
2.
3.
4.

L'étendue de la série statistique 1; 2; 3; 4; 5 est
1.
3.
4.
5.

Plus l'écart-type d'une série statistique est grand, plus...
la moyenne est petite.
la moyenne est grande.
les valeurs de la série sont proches de la moyenne.
les valeurs de la série sont éloignées de la moyenne.