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Les ensembles 𝔻 et ℚ : Démonstrations à connaitre

Le nombre réel \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

Cette propriété est énoncée de la façon suivante dans le cours :

Propriété

\(\sqrt{2}\) n'est pas rationnel.


Stratégie de la démonstration

Nous allons démontrer cette propriété par l'absurde, donc on va supposer le contraire de ce qu'il faut prouver, puis on va montrer que cela implique une contradiction.
Nous ferons l'hypothèse que \(\sqrt{2}\) est rationnel.

Pour cela, nous allons aussi utiliser la propriété du cours :

Propriété

Tout nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible.


et la contraposée du théorème du cours sur les entiers :
Théorème

On considère un entier relatif n.
Si n est impair, alors n2 est impair.


La démonstration

On raisonne par l'absurde en supposant que \(\sqrt{2}\) est un nombre rationnel.

Sous cette hypothèse, il existe deux entiers relatifs premiers entre eux \(a\) et \(b\) tels que \(\sqrt{2}=\cfrac{a}{b}\).

En élevant au carré, on a : \(2=\cfrac{a^2}{b^2}\) soit \(2b^2=a^2\)

Donc \(a^2\) est pair.

En utilisant la contraposée de la propriété : "Si n est impair, alors n2 est impair."
on a : "Si n2 n'est pas impair, alors n n'est pas impair ".

Donc dans notre cas : si \(a^2\) est pair, alors \(a\) est pair, c'est-à-dire divisible par 2.

Si \(a\) est pair, il peut s'écrire \(a=2k\) où \(k\) est un entier.

Donc \(2=\cfrac{a^2}{b^2}=\cfrac{(2k)^2}{b^2}\) soit \(2b^2=4k^2\) soit \(b^2=2k^2\).

Donc \(b^2\) est pair et comme précédemment, on montre que \(b\) est pair.

Donc \(a\) et \(b\) sont pairs, ce qui est impossible car \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux .

Donc l'hypothèse que \(\sqrt{2}\) est un rationnel, est fausse.

Conclusion : \(\sqrt{2}\) est un irrationnel.