L'ensemble des décimaux 𝔻

définition

Un nombre décimal admet une partie décimale qui peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres.
L'ensemble des décimaux est noté 𝔻.

Exemples

• 0,25 est un nombre décimal.
• -0,5 est un nombre décimal.

Propriété fondamentale

d est un nombre décimal s'il existe un entier relatif \(a\) et un entier naturel n tel que \(d=\cfrac{a}{10^n}\).

Commentaires

• Tous les entiers relatifs k sont des décimaux, il suffit de prendre \(a\)=k et n=0.
• La somme, la différence et le produit de deux décimaux sont des décimaux.

Propriété

\(\cfrac{1}{3}\) n'est pas décimal.

Démonstration à connaitre

Propriété

Pour tout réel x et pour tout entier naturel n, il existe un nombre décimal d tel que |x - d|\(\leqslant\cfrac{1}{10^n}\).
d est alors appelé valeur approchée de x à 10^-n près.

Commentaires

Par exemples :

• 0,333 est une valeur approchée de \(\frac{1}{3}\) à 10^-3 près.
• 1,41 est une valeur approchée de \(\sqrt{2}\) à 10^-2 près.

Les rationnels

Définition

Un nombre \(q\) est rationnel s'il existe deux entiers relatifs \(a\) et \(b\) avec \(b\neq0\) tel que \(q=\cfrac{a}{b}\).
L'ensembles des nombres rationnels est noté ℚ.

Commentaires

• Tous les décimaux d s'écrivent \(\frac{a}{10^n}\), avec \(a\) et 10ⁿ deux entiers, donc d est un rationnel.
• La somme, la différence ,le produit et le quotient de deux rationnels sont des rationnels.

Propriété

Tout nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible.

Commentaire

Tout nombre rationnel peut s'écrire sous la forme \(\cfrac{a}{b}\) où \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.

Propriété

\(\sqrt{2}\) n'est pas rationnel.

Démonstration à connaitre

Je fais le point sur le cours