Retrouver l'écriture rationnelle
Le but de cet exercice est de déterminer un nombre rationnel connaissant une écriture décimale comprenant une période.
On note 14,17171717...=14,17.
Voici la métode :
- On appelle x le nombre.
- On isole la période en multipliant par une puissance de 10, afin qu'à droite de la virgule on obtienne uniquement la période.
- On retranche la partie entière pour obtenir la période P en fonction de x.
- Puis on multiplie par 10n où n est la longueur de la période.
- On remplace la partie décimale par P, on obtient une équation d'inconnue x.
- On résout l'équation pour trouver x.
1. retrouver l'écriture rationnelle de 0,51.
Voir la solution
La solution
- x = 0,51.
- 10x = 5,1.
- 10x - 5 = 0,1 = P.
- 10(10x - 5) = 1,1 = 1 + P.
- 10(10x - 5) = 1 + 10x-5.
- 10(10x - 5) = 1 + 10x-5 ⇔ 100x - 50 = 10x - 4 ⇔ 90x = 46 ⇔ x=\(\cfrac{46}{90}=\cfrac{23}{45}\).
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2. retrouver l'écriture rationnelle de 2,1541.
Voir la solution
La solution
- x = 2,1541.
- 100x = 215,41.
- 100x - 215 = 0,41 = P.
- 100(100x - 215) = 41,41 = 41 + P.
- 100(100x - 215) = 41 + 100x-215.
- 100(100x - 215) = 41 + 100x-215 ⇔ 10000x - 21500 = 100x - 174 ⇔ 9900x = 21326 ⇔ x=\(\cfrac{21326}{9900}=\cfrac{10663}{4950}\).
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3. retrouver l'écriture rationnelle de 0,0015.
Voir la solution
La solution
- x = 0,0015.
- 100x = 0,15.
- 100x = 0,15 = P.
- 100(100x) = 15,15 = 15 + P.
- 100(100x) = 15 + 100x.
- 100(100x) = 15 + 100x ⇔ 10000x = 100x + 15 ⇔ 9900x = 15 ⇔ x=\(\cfrac{15}{9900}=\cfrac{1}{660}\).
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