Cette propriété est énoncée de la façon suivante dans le cours :
Nous allons utiliser la définition du cours (Généralités) :
Il faut donc comparer f(a) et f(b), pour cela on va étudier le signe de f(b)-(a).
Montrons que la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[
Soient \(a\) et \(b\) appartenant à [0 ; +∞[, tels que \(a\) < \(b\), soit \(a\) ≥ 0, \(b\) > 0 et \(b-a\) > 0
\(f(b)-f(a)=\sqrt{b}-\sqrt{a}=\cfrac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}=\cfrac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}\)
Or \(a\) ≥ 0, \(b\) > 0, donc \(\sqrt{b}+\sqrt{a}\) > 0.
Donc le quotient \(\cfrac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}\) > 0, donc \(\sqrt{b}-\sqrt{a}\) > 0; soit \(\sqrt{a}\lt \sqrt{b}\).
Conclusion : \(a\) < \(b\) ⇒ \(\sqrt{a}\lt \sqrt{b}\), donc la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[.