La fonction racine carrée

Définition

La fonction racine carrée est la fonction définie sur ℝ⁺=[0 ; +∞[ par \(f(x)=\sqrt{x}\).

Commentaires

Le domaine de définition de la fonction racine carrée est [0 ; +∞[.
f(0)=0, f(0,25)=0,5, f(1)=1, f(100)=10, etc...
f n'est pas linéaire, car f(1)=1 et f(4)=2≠4.

Représentation graphique

x = 1.0

Image de f

f(1) = 1

tableau de valeurs

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Parité

Définition et propriété

La fonction racine carrée n'est ni paire, ni impaire.

Démonstration

f n'est ni paire, ni impaire, car son ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0.

Variations de la fonction racine carrée

Propriétés

La fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞].
Le tableau de variations de la fonction racine carrée :

x 0 +∞

f(x) 0

x	0		+∞
f(x)	0

Démonstration à connaitre

Equations et inéquations
Propriété
L'équation \(\sqrt{x}=k\) admet :

une solution \(x=k^2\) lorsque \(k\ge 0\);
aucune solution lorsque \(k\lt 0\).

Exemples

L'équation \(\sqrt{x}=6\) admet une solution \(x=36\).
L'équation \(\sqrt{x}=-6\) admet aucune solution.

Propriété

L'inéquation \(\sqrt{x}\lt k\) admet comme ensemble de solutions :

\(x \in [0\) ; \(k^2[\) lorsque \(k\gt 0\);
\(x \in \ \emptyset\) lorsque \(k\lt 0\).

L'inéquation \(\sqrt{x}\gt k\) admet comme ensemble de solutions :

\(x \in ]k^2 ; +\infty [\) lorsque \(k\gt 0\);
\(x \in \ [0 ; +\infty [\) lorsque \(k\lt 0\).

Interprétation graphique

k = 1.0