Simplifier la fraction suivante en utilisant des décompositions en facteurs premiers :
Corrigé de l'exercice 1Etape 1 : On décompose le numérateur et le dénominateur
Etape 2 : On simplifie la fraction par les facteurs communs
Voici la simplification :
Soit un entier relatif n différent de -4.
On pose p = 5n+21 et q = n+4.
1. Soit d un diviseur commun de p et q.
a. Justifier que d divise (p - 5q).
b. En déduire que d = 1 ou d = -1.
c. Que peut-on en déduire pour la fraction
2. A l'aide d'une méthode analogue à celle de la question 1., démontrer que la fraction
Corrigé de l'exercice 21.a. Si d un diviseur de p, alors il existe un entier a tel que p=da.
Si d un diviseur de q, alors il existe un entier b tel que q=db.
Ainsi p - 5q = da - 5db = d(a - 5b)
On pose c = a - 5b. c = a - 5b est un entier avec les propriétés de produit et de différence d'entiers.
Donc p - 5q = dc avec c entier, on en déduit que d est un diviseur de p - 5q.
b. p - 5q = 5n+21 - 5(n+4) = 5n+21-5n-20 = 1.
Donc d divise 1, d'après la question précédente.
Les seuls diviseurs de 1 sont -1 et 1.
Conclusion : d=1 ou d=-1.
c. Donc p et q sont premiers entres eux, on en déduit que la fraction
2. On pose p = 3n-11 et q = n+4.
Puis on procède comme pour la question 1. en remplaçant (p - 5q) par (3q - p).
Le but de cet exercice est de démontrer par disjonction des cas, que a = n(n2+3) est pair pour tout entier relatif n.
1. Montrer que si n est pair, alors a est pair.
2. Montrer que si n est impair, alors a est pair.
3. Conclure.
Corrigé de l'exercice 31. Si n est pair, alors il existe un entier k tel que n=2k.
a = 2k((2k)2+3)
On pose K = k((2k)2+3).
K est un entier comme somme et produit d'entiers naturels.
Donc a = 2K avec K un entier, donc a est pair.
2. Si n est impair, alors il existe un entier l tel que n=2l+1.
a = (2l+1)((2l+1)2+3) = (2l+1)(4l2+4l+1+3) = (2l+1)(4l2+4l+4) = 2(2l+1)(2l2+2l+2)
On pose L = (2l+1)(2l2+2l+2).
L est un entier comme somme et produit d'entiers naturels.
Donc a = 2L avec L un entier, donc a est pair.
3. n est soit pair ou impair, et on a vu que dans les 2 cas a est pair.
Conclusion : a est pair pour tout entier relatif n.
Aurélien dit à son amie Samia: "Je pense à un nombre inférieur à 500, qu'il est divisible par 23 et multiple de 5. Dis-moi à quel nombre je pense !"
Samia réfléchit et lui répond : "Je ne peux pas répondre, car il y a plusieurs nombres possibles !"
1. Quels sont tous les nombres possibles.
2. Sachant que le nombre recherché est formé de chiffres différents, dont la somme est un nombre premier, quel est ce nombre ?
Corrigé de l'exercice 41. On cherche les entiers n qui sont des multiples de 23, donc de la forme n=23k où k est un entier.
Mais on sait aussi que n est divisible par 5, donc son chiffre des unités est 0 ou 5.
D'où les cas possibles : 115, 230, 345 et 460.
2. Il en a 3 qui ont des chiffres différents : 230, 345 et 460.
On cherche celui dont la somme des chiffres est un nombre premier :
1.a. Décomposer 135 et 210 en produit de facteurs premiers.
b. Déterminer le plus grand diviseur commun à 135 et 210.
2. Dans sa salle de bain, Mathias veut recouvrir le mur situé au-dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faîence de forme carrée dont le côté est un nombre entier en centimètre le plus grand possible.
a. Déterminer la longueur, en cm, du côté d'un carreau sachant que le mur mesure 210cm de hauteur et 135cm de largeur.
b. Combien faudra-t-il de carreaux ?
Corrigé de l'exercice 51.a. On décompose en produit de facteurs premiers 135 et 210
| 135 | | | 3 |
| 45 | | | 3 |
| 15 | | | 3 |
| 5 | | | 5 |
| 1 | | |
| 210 | | | 2 |
| 105 | | | 3 |
| 35 | | | 5 |
| 7 | | | 7 |
| 1 | | |
b. Le plus grand diviseur commun à 135 et 210 est 3×5 = 15.
2.a. On appelle c le côté du carreau de faïence.
c est un diviseur commun de 135 et 210, Or nous avons vu à la question
1.b. que le grand diviseur à 135 et 210 est 15.
Conclusion : La longueur, en cm, du côté d'un carreau est 15.
b. Il y aura 135/15 = 9 rangées et dans chaque rangée, il y aura 210/15 = 14 carreaux.
Soit au total, 9×14 = 126 carreaux.