Les entiers : Démonstrations à connaitre
Pour une valeur numérique de a, la somme de deux multiples de a est un multiple de a
Cette propriété est énoncée de la façon suivante dans le cours :
Vérifions sur des exemples
- 4 et 18 sont des multiples de 2, et 4+18=22 est aussi un multiple de 2.
- 25 et 115 sont des multiples de 5, et 25+115=140 est aussi un multiple de 5.
- -16 et 48 sont des multiples de 8, et -16+48=32 est aussi un multiple de 8.
Ces exemples permettent de tester, mais en aucun cas n'ont valeur de démonstration, il faudrait pour cela tester
tous les nombres.
Stratégie de la démonstration
Nous allons utiliser la définition du cours :
Donc l'idée est de mettre a en facteur dans m+n.
La démonstration
m est un multiple de a donc il existe un entier k tel que m=ka.
n est un multiple de a donc il existe un entier k' tel que n=k'a.
Soit m=ka et n=k'a.
En additionnant, on a : m+n = ka+k'a=(k+k')a.
On met a en facteur : m+n = (k+k')a.
K=k+k' est un entier, comme somme de deux entiers.
On a donc, m+n=Ka.
m+n est donc un multiple de a.
