Les ensembles ℕ et ℤ

Définitions

• L'ensemble des nombres entiers naturels {0 ; 1 ; 2 ; 3...} est noté ℕ.
• L'ensemble des nombres entiers relatifs {...-3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3...} est noté ℤ.

Commentaires

• Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs, mais la réciproque est fausse.
• La somme et le produit de deux entiers naturels sont des entiers naturels.
• La somme, la différence et le produit de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.
• Dans ℤ, on utilise la division euclidienne. Pour tout entier a et b (b non nul), il existe deux entiers q et r tels que :
  a=b×q+r avec 0≤r<b. On appelle q le quotient et r le reste.
• Lorsqu'on dit que n est un entier, cela veut dire que n est un entier relatif.

Multiples et diviseurs

Définitions

Soient deux entiers relatifs n et p (p non nul). S'il existe un entier relatif k tel que n=k×p, on dit que:

• n est un multiple de p ;
• p est un diviseur de n.

Commentaires

• Tout entier naturel non nul n est toujours divisible par 1 et par lui-même car n=1×n;.
• Tout entier naturel non nul n admet une infinité de multiples : -n, 0, n, 2n, 3n, etc...
• Les multiples de n sont de la forme k×n, où k ∈ ℤ.

Propriété

On considère trois entiers relatifs a, m et n. Si m et n sont des multiples de a, alors :

• la somme (m+n) est un multiple de a ;
• la différence (m-n) est un multiple de a ;
• le produit m×n est un multiple de a.

Démonstration à connaitre

Nombres pairs, nombres impairs

Définitions

On considère un entier relatif n.
Si n est un multiple de 2, on dit que n est pair.
Si n n'est pas pair, n est impair.

Commentaires

• Une autre formulation : Si n est divisible par 2, alors n est pair.
• 0 est pair.

Propriété

On considère un entier relatif n.
Si n est pair, alors il existe un entier relatif k tel que n=2k.
Si n est impair, alors il existe un entier relatif k tel que n=2k+1.

Commentaires

• Cette propriété est une conséquence directe de la division euclidienne de n par 2.

Théorème

On considère un entier relatif n.
Si n est impair, alors n² est impair.

Démonstration à connaitre

Nombres premiers

Définition

Un entier naturel est premier s'il n'admet que deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même.

Commentaires

• 1 n'est pas un nombre premier.
• Il y a une infinité de nombres premiers.

Décomposition en facteurs premiers

Chaque entier naturel supérieur à 2 s'écrit de façon unique, à l'ordre près, sous la forme d'un produit dont chaque facteur est un nombre premier.

Exemple

Décomposer

Avec la numworks

Avec la

Application aux fractions

Définition

On dit que deux nombres entiers relatifs a et b sont premiers entre eux lorsque le seul diviseur commun positif de a et b est 1.

Propriété

Soient deux nombres entiers relatifs a et b avec b non nul, on dit que le nombre  

a/b

est une fraction irréductible lorsque les entiers a et b sont premiers entre eux.

Modifier la fraction puis appuyer sur le bouton Simplifier.

Simplifier

Voici la simplification :

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