Les fonctions trigonométriques
On se place dans un repère orthonormé (O ; I ; J).
- Il existe deux sens de parcours pour un point M sur C :
- le sens direct (noté +) ou sens trigonométrique ;
- le sens indirect (noté -), sens des aiguilles d'une montre
- Le périmètre de C vaut \(2\pi\).
- La longueur de l'arc \(\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}}\arc{IM}\) est proportionnelle à l'angle \(\widehat{IOM}\) en degré qui intercepte cet arc.
- Il y a des angles qui ont des mesures négatives.
- Inversement, tout point M du cercle C est associé à un nombre réel x, où x est égal à la longueur de l'arc \(\arc{IM}\), d'origine I, d'extrémité M et parcouru dans le sens positif.
- Tout point M du cercle C associé à un réel x est également associé à une infinité de réels, de la forme x + 2kΠ avec k ∈ ℤ correspondant au nombre |k| de tours supplémentaires dans le sens direct ou indirect.
- Ci-contre une animation permettant de visualiser l'enroulement d'une partie de la droite des réels (le segment [-10 ; 10]) autour du cercle trigonométrique. On peut voir que le point associé à x est aussi associé à d'autres réels.
- Si x ∈ [0 ; Π[ la mesure x en radian de l'angle au centre \(\widehat{IOM}\) est proportionnelle à sa mesure en degré.
- Voici la table de conversion entre les mesures des angles en degré et en radian :
mesure en degré 0 1 10 30 45 60 90 180 360 mesure en radian \(0\) \(\cfrac{\pi}{180}\) \(\cfrac{\pi}{18}\) \(\cfrac{\pi}{6}\) \(\cfrac{\pi}{4}\) \(\cfrac{\pi}{3}\) \(\cfrac{\pi}{2}\) \(\pi\) \(2\pi\)
- Le nombre 0 est associé au point I. Donc cos(0)=1 et sin(0)=0.
- Le nombre \(\frac{\pi}{2}\) est associé au point J. Donc cos(\(\frac{\pi}{2}\))=0 et sin(\(\frac{\pi}{2}\))=1.
- L'égalité \(cos^2(x)+sin^2(x)=1\) signifie \(\bigl(cos(x)\bigr)^2+\bigl(sin(x)\bigr)^2=1\)
Cette définition permet de définir \(cos(x)\) et \(sin(x)\) pour tout réel \(x\). Elle est cohérente et prolonge la définition donnée dans un triangle rectangle pour le cosinus et le sinus d'un angle aigu.
Ainsi lorsque l'angle \(\widehat{IOM}\) est aigu, dans le triangle \(OHM\) rectangle en \(H\) :
| x en degré | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 180 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x en radian | \(0\) | \(\cfrac{\pi}{6}\) | \(\cfrac{\pi}{4}\) | \(\cfrac{\pi}{3}\) | \(\cfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
| cos(x) | \(1\) | \(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\cfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) |
| sin(x) | \(0\) | \(\cfrac{1}{2}\) | \(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(0\) |
Déplacer le curseur pour parcourir le cercle trigonométrique et générer les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus.
x = -6.28
- En effet pour tout entier x les points M et M' associés à x et -x sur le cercle trigonométrique C sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Ils ont donc des abscisses égales et des ordonnées opposées.
- La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à O l'origine du repère.
- En effet pour tout réel \(x\), les points du cercle trigonométrique C associés à \(x\) et à \(x+2\pi\) sont confondus.
- Les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sont invariantes par translation de vecteur \(2\pi\overrightarrow{OI}\).