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Les fonctions trigonométriques

1. Enroulement sur le cercle

1. Le cercle trigonométrique

On se place dans un repère orthonormé (O ; I ; J).

Définition

Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O, de rayon 1 et orienté dans le sens direct, noté +, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre.



Commentaires

  • Il existe deux sens de parcours pour un point M sur C :
    • le sens direct (noté +) ou sens trigonométrique ;
    • le sens indirect (noté -), sens des aiguilles d'une montre
  • Le périmètre de C vaut \(2\pi\).
  • La longueur de l'arc \(\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}}\arc{IM}\) est proportionnelle à l'angle \(\widehat{IOM}\) en degré qui intercepte cet arc.
  • Il y a des angles qui ont des mesures négatives.
angle = -110°

2. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique C

  • On considère le cercle trigonométrique C et T sa tangente au point I(1;0). Cette droite est appelée axe des réels.
  • Sur cette droite on considère les points d'ordonnée positive et les points d'ordonnée négative
On imagine qu'on enroule cette droite autour de C.
La demi-droite [IA) va s'enrouler sur le cercle dans le sens positif et la demi-droite [IB) dans le sens négatif
  • A tout nombre réel x on associe le point N de la tagente T de coordonnées (1;x), qui se superpose par enroulement sur un unique point M du cercle trigonométrique. M est appelé l'image de x sur le cercle C.

Commentaires

  • Inversement, tout point M du cercle C est associé à un nombre réel x, où x est égal à la longueur de l'arc \(\arc{IM}\), d'origine I, d'extrémité M et parcouru dans le sens positif.
  • Tout point M du cercle C associé à un réel x est également associé à une infinité de réels, de la forme x + 2kΠ avec k ∈ correspondant au nombre |k| de tours supplémentaires dans le sens direct ou indirect.
  • Ci-contre une animation permettant de visualiser l'enroulement d'une partie de la droite des réels (le segment [-10 ; 10]) autour du cercle trigonométrique. On peut voir que le point associé à x est aussi associé à d'autres réels.
x = 2 angle = 0

3. Mesure d'angle en radian

Définition

Soit M un point du cercle trigonométrique C, associé à un réel x.
On dit que x est une mesure en radian de l'angle \(\widehat{IOM}\) orienté de I vers M.



Commentaires

  • Si x ∈ [0 ; Π[ la mesure x en radian de l'angle au centre \(\widehat{IOM}\) est proportionnelle à sa mesure en degré.
  • Voici la table de conversion entre les mesures des angles en dégré et en radian :

    mesure en degré011030456090180360
    mesure en radian\(0\)\(\cfrac{\pi}{180}\)\(\cfrac{\pi}{18}\)\(\cfrac{\pi}{6}\)\(\cfrac{\pi}{4}\)\(\cfrac{\pi}{3}\)\(\cfrac{\pi}{2}\)\(\pi\)\(2\pi\)
x = -2rad

2. Cosinus et sinus d'un nombre réel

1. Repérage d'un point sur le cercle trigonométrique

Définition et propriétés

On considère le cercle trigonométrique C dans un repère orthonormé (O ; I ;J).
Soit un réel x et soit M le point de C associé à x.

  • L'abscisse du point M dans le repère orthonormé (O ; I ; J) est le cosinus du réel x, noté cos(x)
  • L'ordonnée du point M dans le repère orthonormé (O ; I ; J) est le sinus du réel x, noté sin(x)
  • Les coordonnées du point M dans le repère orthonormé (O ; I ; J) sont donc (cos(x) ; sin(x)).

D'où les propriétés.

Pour tout nombre réel x, on a :
  1. Propriété d'enroulement : \(-1\le cos(x) \le 1\) et \(-1\le sin(x) \le 1\).
  2. Relation fondamentale : \(cos^2(x)+sin^2(x)=1\).

angle = 1rad

Commentaires

2. Lien avec la trigonométrie dans un triangle rectangle

Cette définition permet de définir \(cos(x)\) et \(sin(x)\) pour tout réel \(x\). Elle est cohérente et prolonge la définition donnée dans un triangle rectangle pour le cosinus et le sinus d'un angle aigu.

Ainsi lorsque l'angle \(\widehat{IOM}\) est aigu, dans le triangle \(OHM\) rectangle en \(H\) :

  • \(cos(\widehat{IOM})=cos(\widehat{HOM})=\cfrac{OH}{OM}=\cfrac{OH}{1}=OH=cos(x)\).
  • \(sin(\widehat{IOM})=sin(\widehat{HOM})=\cfrac{HM}{OM}=\cfrac{HM}{1}=HM=sin(x)\).

3. Valeurs remarquables des cosinus et sinus

x en degré030456090180
x en radian\(0\)\(\cfrac{\pi}{6}\)\(\cfrac{\pi}{4}\)\(\cfrac{\pi}{3}\)\(\cfrac{\pi}{2}\)\(\pi\)
cos(x)\(1\)\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\cfrac{1}{2}\)\(0\)\(-1\)
sin(x)\(0\)\(\cfrac{1}{2}\)\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(1\)\(0\)

Démonstration à connaitre

3. Fonctions cosinus et sinus

1. Définitions

Définition

  • La fonction cosinus, notée \(cos\), est définie sur par \(x\mapsto cos(x)\).
  • La fonction sinus, notée \(sin\), est définie sur par \(x\mapsto sin(x)\).

Animation

Déplacer le curseur pour parcourir le cercle trigonométrique et générer les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus.

x = -6.28

2. Propriétés

Propriété

Commentaire

  • En effet pour tout entier x les points M et M' associés à x et -x sur le cercle trigonométrique C sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Ils ont donc des abscisses égales et des ordonnées opposées.
  • La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à O l'origine du repère.

Propriété

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période \(2\pi\), c'est-à-dire pour tout réel \(x\), on a :

Commentaire

3. Variations et courbes représentatives

a. La fonction cosinus

Propriété

  • La fonction cosinus est périodique de période \(2\pi\), donc il suffit d'étudier ses variations sur \([-\pi; \pi]\).
  • La fonction cosinus est paire, donc il suffit d'étudier ses variations sur \([0; \pi]\).
  • Le tableau de variations de la fonction cosinus sur \([0; \pi]\) :
    x \(0\) \(\pi\)
    cos(x) 1 -1

La courbe représentative de la fonction cosinus

               

b. La fonction sinus

Propriété

La courbe représentative de la fonction sinus