Taux de variation d'une fonction entre deux réels

Définition

On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle I.
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels distincts appartenant à I.
Le taux de variation (ou taux d'accroissement) de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le nombre égal à :

\( \cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

Commentaires

• Dans un repère, si A et B sont les points de courbe de f respectivement d'abscisses \(a\) et \(b\), alors le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le coefficient directeur de la droite (AB).
• En physique, si \(f\) est la fonction qui donne la distance en fonction du temps, alors le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) représente la vitesse moyenne entre les instants \(a\) et \(b\).

Notion de nombre dérivé

Définition

On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle I.
Soient \(a\) un réel de l'intervalle I et \(h\) un réel non nul tel que \(a+h\) ∈ I.
On dit que la fonction \(f\) est dérivable en \(a\) lorsque le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\) se rapproche d'un nombre L quand \(h\) se rapproche de 0.
Le réel L, limite du taux de variation lorsque \(h\) tend vers 0, est appelé nombre dérivé de la fonction \(f\) en \(a\).
On le note \(f'(a)\).
Et on écrit :

$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Commentaires

• En physique, si \(f\) est la fonction qui donne la distance en fonction du temps, alors le nombre dérivé de \(f\) en \(a\) représente la vitesse instantanée à l'instant \(a\).

Avec la numworks

Avec la

Tangente à une courbe en un point

Notion de tangente

On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle I, \(a\) un réel de cet intervalle et C la courbe représentative de la fonction \(f\).

Définition

On suppose que \(f\) est dérivable en \(a\).
On note A le point de C d'abscisse \(a\), donc de coordonnées (\(a;f(a)\)) et M le point de C d'abscisse \(a+h\), où \(h\) est un réel non nul.
La droite (AM) est une sécante à la courbe C. Son coefficient directeur est le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\).
Lorsque M décrit la courbe C (M≠A), on obtient un faisceau de sécantes passant par \(a\) à la courbe C.

Commentaire

Puisque \(f\) est dérivable en \(a\), on a :$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ La droite (T) passant par A et de coefficient directeur \(f'(a)\) se conçoit comme la position limitedes sécantes(AM) lorsque M se rapproche de A.
Cette droite (T) est appelée Tangente à la courbe C au point d'abscisse \(a\).

Définition

Si \(f\) est une fonction dérivable en \(a\), la tangente à la corbe C au point A est la droite passant par A(\(a;f(a)\)) et de coefficient directeur \(f'(a)\).

Exemple : La fonction carré

h = 2 a = 1

Tangente et sécantes

f(1) = 1

Equation réduite de la tangente

Propriété

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en un réel \(a\) de I. On note C la courbe de \(f\).
L'équation réduite de la tangente à la courbe C au pointA(\(a;f(a)\))est :

\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).

Démonstration à connaitre

Avec la numworks

Avec la

Des cas de non-dérivabilité

La fonction racine carrée en 0

Propriété

La fonction racine carrée, bien que que définie en 0, n'est pas dérivable en 0.

Démonstration à connaitre

La fonction valeur absolue en 0

Définition

La fonction valeur absolue est définie sur ℝ par :
\( f(x) = |x| =\begin{cases}x, & \text{si $x$} \ge 0 \\-x, & \text{si $x$} \lt 0\end{cases}\) .

Commentaire

La fonction valeur absolue est en 2 parties.

• Sur ]-∞ ; 0[, la fonction valeur absolue est définie par la fonction affine \(f(x)=-x\)
• Sur [0 ; +∞[, la fonction valeur absolue est définie par la fonction affine \(f(x)=x\)

Donc sa représentation graphique est la réunion de deux demi-droites.

La courbe représentative de la fonction valeur absolue

Propriété

La fonction valeur absolue, bien que que définie en 0, n'est pas dérivable en 0.

Commentaire

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0, mais elle admet 2 demi-tangentes :

• à droite, la demi-tangente \(y=x\)
• à gauche, la demi-droite \(y=-x\)